Solides élémentaires. — ■ La forn plique aux solides

c, prcoédcntc (1) s'aps élémentaires, tronc de pyramide, tronc de cône, tranche de sphère. En effet, considérons un tronc de pyramide ou de cône {fif(. 29) ; prenons comme origine le sommet 0 de la pyramide ou du cône, pour plan des xi/ nn plan parallèle aux deux bases S„ et S,, pour axe des : une perpendiculaire à ces deux bases. Soient k la distance du point 0 au plan S„, et S la section faite dans le solide par le plan situé à une Kig. -Mj. dislance du sommet OA = z. Comme,

dans une pyramide ou un cône, les sec- .tions faites par des plans parallèles sont proportionnelles aux carrés de leurs distances au sommet, on a S z^

yGoosle

VOLUME D'UN SOLIDE Â BASES l'ARALLÈLES Si

S fist donc une fonction du second degré de ; et la formule précédente s'applique.

Il en est de même pour une tranche de sphère à bases parallèles S, et S,. En effet, si on prend encore l'axe 0: perpendiculaire aux bases, l'origine étant au centre de la sphère, l'aire S de la section faite par un plan a une distance r du centre

OÙ R désigne le rayon de la sphère. Cette expression est du deuxième degré en r.

46- Tranche elliptique d'une surface du second ordre. — La même formule s'applique à une tranche de surface du second ordre comprise entre deux plans parallèles, pourvu que cette tranche ait uji volume fini, ce qui ne peut arriver que si les plans de hases de la tranche coupent la surface suivant des l'IU/ises.

Prenons, par exemple, une tranche d'ellipsoïde limitée par deux plans parallèles S^ et S, (^/ig. 29).

Prenons pour origine le centre de rellipsoïde, pour axe des .: le diamètre conjugué de la direction des plans S,, et Sj, pour plan des xy un plan parallèle i» ces plans, et enfin pour axes des .e et des y les axes de la section de la surface par le plan des ^i/. [.'ellipsoïde, étant ainsi rapporté ii un système de diamètres conjugués, a pour équation

'•■1 COURS D'ASALYSl-:

Coii|ioiis l'ellipsoïde piir on pl;ni paiallèlf iui plan di's .rij, Nous aurons, comme section S, iiny ellipse

qui se projette eu vriiie gi-andeur sur lo plan des .i-ij. Les axes de eeUe ellipse ont pour loiigiieiits

Cette expression étant du deuxième degré eu r, le volujiic de la tranche est donné par la formule

Le même raisonnement s'applique à une tranche d'hj-perbolokle limitée par deux sections ellipticjues paralicles.

Volume d'un ellipsoïde. — L'ellipsoïde étiii i\es a, /', c a pour érpiation [fig. 31',

Si on le coupe par des plans parallèles au plan des .rij, l'aire de la section est fonction du deuxième degré de ;; la formule s'applique donc, comme nous venons de le voir, il une tranche quelconque comprise entre deux plans parallèles au pliin.rOy, Pour avoir l'ellipsoïde entier, nous prendrons comme plan de

VOLUME D'i.V SOLIDE A BASES PARALLELES 8'i

'mit un poiiil-, on a S, = 0. Prenons de même comme plan do

brtse inférieure le plan tangent -■■= — c, alors S^^^O. La section médiane est dans le plan des ,r // : elle a pour airo

La distance h des plans dr; basp étant ici 2 c, on a, pour le volume,

Paraboloïde elliptique. — Soit nne ti-aiiche de paraboloïde elliptique ayant poiif Ijiises deux sections parallèles S„ et S^. Prenons comme axe des ; le diamètre coniiiffué des deux bases,

pour ]dan des xij le plan tangent parallèle aux deux bas oomme axes O.c et 0</ des parallèles aux axes des deux bas L'équation de la surface est

84 eouns d'analyse

Le plan z^ÇJ" coupe la surface suivant une ellipse dont les axes ont pour longueurs \ az et \ bz et dont l'aire est

Cette expression étant linéaivc en r, l;i Ibrnuilc simplifiée s'applique, et ou a

47- Autres solides dont le volume est donné par la même formule. — ■ Soient, dans l'espace, un plan fixe P et un certain nombre de droites D,, 1)^,...,D„ dont aucune n'est parallèle au plan P.

(Dans la figure 33 le nombre n est égal à 4.) Un pian S parallèle au plan P coupe ces droites en/i pointsA,, Aj,..,A„ que nous joindrons dans l'ordre A| Aj A„ , de façon à former un polygone S.

Quand le plan S se déplace parallèment au plan P depuis une position S^ jusqu'à une position S„ le polygone engendre un solide dont le volume est donné par la formule (1). Pour le montrer, prenons pour plan des xy le plan P ; il suffit de prouver que l'aire S du polygone A, Aj,,..A„ est une fonction du deuxième degré du ; du plan de ce polygone.

VOLUME D'Ut

Les droites 1) 1),,