Courbe ayant une sous-normale constants. — En t
qui est cr qu'on appelle réquatlou dili'ércnticllo dos courlies clierchées. Kii y remplaçiint ?/ pH-V --rz , ou ii
(5) ydy = ad.r.
Le premier meinlji-e esL la différentielle de ^ </% le deuxième de ax : ces deux fonctions ayant même diflerentielle, ne dil'fèrent que par une constante et on a, en intégrant les deux membres,
où ,r„ désigne une constante arbitraire.
Cette relation est ce que l'on appelle l'intégrale générale de l'équation différentielle (5) ; elle donne l'équation des courbes cherchées; elle représente des paraboles de paramètre a, ayant Ox pour axe. Quand on fait varier x„, on trouve la même parabole qui se transporte parallèlement à O.r.
153- Courbe ayant une sous-tangente constante. — Kn écrivant S, = fl, on a l'équation différentielle
On peut, comme dans l'exemple précédent, séparer les variables, c'est-à-dire faire passer tous les termes en y dans un membre, tous les termes en x dans l'autre.
On a ainsi l'équation
(II/ tlx
yGoosle
a6o COURS D'A.-VALrSE
cl'oii, 011 intégrant et désignant par t„ une constante arbitrii
l'intégrale générale de l'équation différentielle (7). Elle représente des courbes ayant la forme indiquée [fig. 75). Quand ^j, varie, elles se déduisent toutes, comme dans l'exercice précédent, de l'une d'entre elles, en la déplaçant parallèlement à 0^. Ce fait pouvait être prévu, car la propriété î. imposée à la courbe ne dépend que de
la position de la courbe par rapport à
on par rapport à (h/.
154. Courbe ayant une aorma.le constante. — En écrivant ( =rt, on a l'équation diiférentielle
ou, en élevant au Ci
Séparons les
OÙ Xo désigne une constante. On a ainsi l'intégrale générale de l'équation différentielle (8)- Cette é€|uatioii, rendue rationnelle,
^oj
représente un cercle de rayon a ayant son centre X quelconque x^ de 0^ [fig. 76). Il est évident que, pi conque de ces cercles, la normale MN est constante. Mais il y a, actuellement, une autre solution. Quand
un quel-
TA^'GEyTE, NORMALE, SOUS-TANGENTE, ETC.
varier la constante arbitraire ^^ qui figure dans l'intégralf raie (9), les cercles représentés par cette équation restent tangents aux deux droites y=^di«; on dit qu'ils ont ces deux droites pour enveloppe. Comme la normale en un point d'une de ces deux droites est la même que la normale à celui des cercles (9) qui lui est tangent, ces droites sont aussi des lignes répondant à la Fi^, 70.
question.
C'est ce qu'on peut vérifier, car l'équation différentielle, i sous la forme
est satisfaite droites
Kr
efict, le lo
de l'ui
par exemple, ou a dy^=0, Va- — y^^Q. La solution constituée par l'ensemble des deux droites y^±a, enveloppe des courbes (9) représentées par l'intégrale générale, est ce que Ton appelle une solution singulière de l'équation différentielle.
155. Courbe aux tangentes égales. — Ko écri' longueur MT do la tangente est constante, on a
int que la
, en élevant au eairé et remplaçant y' par -~-, Séparant les variables et extrayant les racines, on a
Lv:?^
fi'i COURS D'ANALYSE
On il iiinsi l'iiitégriilc générale de l'équation clifFéreiiticlle des nnrbes dcnuindées avec une constante arbitraire j',. Quand ,'t'„ ■;ii'io, la combe ne elumge pas de forme, mais se déplace parallèlement à O^, Cela tient encore à ce '5' que la propriété imposée à la courbe
dépend uniquement de la position de la courbe par rapport à 0,r et non pas piir rapport â Oij.
^r ~ 11 serait aisé d'effectuer l'intégration
indiquée dans l'équation (11) en employant la méthode générale du n" 82.
Mais, actuellement, il est plus avantageux d'exprimer les coordonnées d'un point de la courbe en fonction d'un paramètre. Posons
L'Intégration donne
= «(l,,gt,,ng-^+, ■„,„).
Les coordonnées d'un point de la courbe sont aÎLisi expiimécs en fonction d'un paramètre u.
La significalion de u est simple : on a, en effet,
Donc u est l'angle de la tangente à 1» courbe avec Ox {//'g. 77).
TA.\GE.\'TE, XOHMALE, SOUS-TANGENTE, ETC. i'Vi
Construisons celle des courbes qu'on obtient en f;iis;iiit ,r„ — ; 0
r=rt(^logLang-^ +">«")'
l'oLir que tiUifT -y- soit positil, il Inut laire varier // de IJ ii -r..
Deux valeurs supplémentaires de » donnent deux points de l;i courbe symétriques par rapport îi Taxe Ot/. En effet, soient, l'j et </, les valeurs des coordonnées correspondant à la valeur
Mais
..ng-
Faisons donc varier H de 0 il ^ . Pum- N = t), .i ^-—y: ,1/ ^^0;
la courbe est asymptote a O.r. Quand u augmente, s et 1/ aug-
dj; du ■ r r. '^
mentent car — ;— et ~- sont positits. l'our m = -jr- , ,c = L) et
(lu du Â
IJ ^a : au point h. ainsi obtenu, la tangente se confond avec
l'axe des ij. La courbe s'achève par svmétrie par rapport
Heclifiivilioii de la v.otirhe. — Appelons ,s" l'ai'c de courbe compté it partir du point de rebioussenieut A. On a
(h = Vd.r'--\-d>/,
5! COURS D'ANALYSE
Uciiipl;tçan1 d.r et dy par leurs valeurs (12) et (13), on a, npri 'éiliiclion,
sîiiis iijouicr de coiistiinte, Ciir, s éf.mt compté ii piirtlr (Ut point /* doit s'annuler pour '( ----- -pr- , ce qiii a lieu, puisque log 1=0.
