II. — MAXIMUM ET MINIMUM DUNE FONCTION DUNE VABIABLE

156. Règle. — • \ons rappelons rapidement lu règle qui |>einiel de tronver les niaxima et miiiîma d'une fonction

d'une variable x, pour préparer la méthode que nous emploierons pins loin, au sujet des maxima et mînima des fonctions de deux vai'iables .

Supposons que, pour^ = «, la fonction /'(.■r) soit maximum. Cela veut dire que, .r étant très voisin de <i , fÇr) est moindre

,„=/■(„). Si „„l\,i.

/( étant un nombre positif ou négatif qui tend vers zéro, on doit avoir, pour toutes les valeurs de h inférieures, en valeur absolue, il une certaine limite,

( excepté pour /( ;^0.

De même, si, pour .v=a, la fonction est minimum, on a, pour toutes les valeurs positives et négatives de A inférieures, en valeur absolue, ii une certaine limite,

(Min.)

i f{a+h)-f{a)>0, { excepté pour // =; 0,

ilAXIMVM ET MINIMUM D'UNE FONCTION D'UNE VARIABLE ï65

Nous n'examinerons en détail que le cas simple où, pour de petites valeurs de h, la fonction /'(« + /') est développable par la formule de Mac-Laurin.

Développons f[a-\-h) par la formule de Mac-Laurin suivant les puissances de h : nous aurons

/■;»+j)-Ai»:-4[r;»: + ^r;«}+ ]■

Si /■'(«) n'était pas nul, la parenthèse aurait, pour de petites valeurs de h, le signe At f\a). et la différence

Cette dilfcreiice changerait alors de signe avec/i et, pour .r^«, la fonction ne serait ni maximum ni minimum.

Donc, pour que la fonction soit maximum ou miniinitm, pour or ^ a, il faut que l'on ait

Si cette condition est remplie, on a

En général /"(a) ne sera pas nul. Si /"'((') n'est pas nul, la ([uantité entre parenthèses a, pour de petites valeurs de //, le signe de /"{"), et la différence

le .ign.. de

Le signe de f[a + h) — /'(«)> pour de petites valeurs de /*, est alors indépendant du signe de h et égal au signe de f"{a). Donc si, f {a) étant nul, f" [a) est négatif, la fonction est maximum pour x^=:a; si, fia) étant nul. f"{a) est positif , la fonction est minimum pour x =^fl.

157- Cas exceptionnel. — Si on aviùt f'(a) = 0, f"{a) -.^ 0, le développement fie f(a + /') — f {a) aiinùt poui' premier terme -2T- /""'(«). Si donc /""(«) ii'étiiit pas mil aussi, la différence

^■l^a-\-li) — /■(«) aurait, pour de petites valeurs de /(, le signe de h' f"'{a) : elle changerait de signe avec h et la fonction /"(.r) ne serait ni maxinuini ni minimum pour s :=; a. Pour qu'elle soit maxinuin, ou minimum quand /■'(«) = 0, f"{a) = 0, 11 faut donc en outre f"' («) -=^ 0. Alors le premier terme de

Si/''^!,» est difVércut de -/A-.vn, la dlllej'ence /',> + /') —/"'/O conserve im signe constant indépendant Jvi signe de A, et égal a celui de/'i'^i(«).

Do7ic si fia), f" {a), f" {a) éuuil nuh, /'"■) («) ent négatif, x = a donne joi maximum; et si /-"' [o) est posilif, .r = a donne un minimum .

D'une manière générale, pour que la fonction / (.)) soit maximum ou minimum, pour x ^ fl, il faut et il suffit, dans les hypothèses laites, que la première dérivée qui ne s'annule pas pour j- = rt so\t d' ordre puiv . La fonction est maximum ou minimum suivant que cette dérivée prend, pour .r=^(i, une valeur négative ou positive.

158. Représentation graphique. — Construisons la courbe y ^f{.i). Admettre qu'au voisinage du point A, x= a, y =f[a), la fonction / (.t) est développahle par la for- ; mule de Taylor, c'est admettre, en particM- "TT^ y lier, qu'au point A il existe une tangente 'a ' la courbe non parallèle à Oij, car f {a) est

fini.

Pour que l'ordonnée // = /" Uj soit niaxî-

' ' nium pour j;' = o, il faut alors évidemment

que la tangente en A soit horizontale, f'{a) = 0, et que la

courbe, au point A, tourne sa concavité v^rs les y négatifs, c'est-

.MAXIMUM ET MINIMUM D'UNE FONCTION D'UNE rARIADLE -id-j

à-dire que la dérivée seconde /"(«) soit négatwe si elle n'est pas nulle. On retrouve bien ainsi les conditions iinalyliqucs du maximum.

On retrouverait de même celles du luinimum.

Remarque. — La représentation graphique permettra de trouver tous les maxima et minima de la fonction, même ceux qui ■ ne rentrent pas dans l'Iiypotlièse simple que nous avons laite en admettant que, dans le voisinage du maximum ou du minimum, la fonction est développable par la ibrmule de Mac-Laurin.

En effet, on verra immédiatement sur un tracé graphique quelles sont les ordonnées plus grandes ou plus petites que les ordonnées voisines.

Par exemple, dans la courbe aux tangentes égales (N° 155, ^g'. 77), l'ordonnée du point de rebroussement A est un maximum. Kn

ce point, la dérivée -y^ est in(uii<.'. car la tangente est verticale.

yGoosle

CIIAPITUK X

COURBES GAUCHES. — TAXGEXTi:. — l'LA.N OSCULATEUR