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lation;

s do la

tangente i

iin.t al

où il reste à remplacer ilv, dij. dz p;ir les valeurs proportionnelles que nous venons de trouver.

Points singuliers. — La tangente est ainsi déterminée en chaque point de la courbe définie par les équations (1).

Il y aurait exception si les coordonnées i.-n point de contuci vérifiaient les relations

ill' ."IF ilj'

JC

OC

île

car, clans ce cas, les équations (2) se récluîraicnl à une seule el, les dénominateiu's des relations (3) seraient tous nuls. Les deux surfaces (1) qui, par leur intersection, donnent la courbe seraienl alors tangentes au point considéré.

Un point de ce genre s'appelle un point singulier de la courbe gauohe. C'est en général un point où se croisent plusieurs branches de la courbe.

Nous reviendrons sur cette question dans la théorie de l'indicatrice.

163. Différentielle de le, longueur d'un segment de droite. — Soit un segment de droite AB dont les extrémités A etB ont pour coordonnées x, y, z et x,, y,, ::,. Supposons que ces coordonnées soient fonctions d'un paramètre ii, de telle façon que les extrémités A et B décrivent deux courbes, quand ii varie. Lorsqu'on fait varier infiniment peu v, les points A et B subissent des déplacements infiniment petits AA' et BB' ayant pour projections cf.r, di/, dr- cl d.t\, dij^, d:,. La longueur l âvt segment :

\ poui' différentielle

)(dz—dz,'}

Xous écrirons celte (

dl = :

'lii'iy-

z)dz

-.'/iX'/,-

- ?,) dz,

igment AA' de projections d.x, dij, d.z fait avec les axes

des anffles ayant pour cosinus — ;— , —y— , — ;— , c est-a-dire * -^ *^ <h du ds

J.r AA' '

AA'

AA'

TAyCENTE ï-i

T.c segment AB, [uis d^ins le sens AB, fiiit iivoc les axes dos iiiigles ayanl pour cosinus

IiIZjL ih—ii '| — -

On a (Uiiic, en prenant lo cosinus de l'angle de ces deux direc-

cos A'AB ^= -^-î — . . , ; — — — ■

On trouve, de même,

L;i l'cirmule donnant dl peut alors s'écrii'c

(1/ :r.^ — W. eos \'Mi — BB'. tos B'BA.

Applications de cette formule. — 1" Supposons, par e:ïomplc, r[ue la droite AB se déplace de telle liteon qu'elle reste constamment normale aux courbes décrites par les points A et B. Ou », alors, eos ^\B = 0, cos É^ = 0,

La droite a donc une longueur constante.

2" Réciproquement, imaginons un segment AB de longueur constante l qui se déplace en restant normal 'a la courbe Heu du point A. Le point B décrit alors une eourjjc à laquelle la droilc AB est aussi normale.

En eifet, dans lu formule générale ou a, itctuellcmonl,

dl = 0, cos A'AB ^0. Elle donne donc cos B'BA =0,

ce qui démontre que AB est normale au lieu du poînl B.

3° Supposons, enfin, que la droite AB change de longueur et de position de telle façon qu'elle soit constamment normale au lieu C du point A et tangente au lieu C, du point B (fig. ST .

Dans ces conditions,

cosA'AB = 0, cosB'BA=l,

car l'angle de BB' (tangente devient alors

iB!

: BA i