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s prenons nne origine 0, des ; BB=; (/.!,,

2 coiistiiiiLe. I.a soiunic

arcÔTÎ + di-oitoBÂ

I peut triiceï inéciinicjuoinciiL hi combe C de ia l'uçon suivante. Prenons un fil inextensible de longueur k, Attaclions- Ic on 0| ; enroulons-le partiellement sur la courbe jusqu'en B, puis, tendous-lc jusqu'en A. Si, ensuite, nous tenons le poiiil A à la main en enroulant on déroulant ce fil sur la courbe C, et le maintenant tendu, le point A décrit la courbe C, Nous reviendrons plus loin sur cette propriété li propos des développées et des développantes.

II, — PLAN OSCXILATEUR

164. Pian osculateur. — On démontre, pour les conr])es gaucbcs connue pour les courbes planes, que, de toutes les droites passant par un point M de la courbe, la tangente est celle qui se rapproche le plus de la courbe clans le voisinage du point M. On est naturellement conduit à chercher, de même,

V OSCULATEUIl

quel est, piirmi tous les plans passant par un point M d'une courije gauche, celui (pii se rapproche le plus Je lu courbe cliins le

a noLÏoii i\\\ ]*]an

viiisitiagc dn point -M. On est ainsi amené à osculateur que nous définiions comme il suit ;

OÉFiNiTiON. — Soient M un point de la courLc, M, un poiiit voisin, M/ et Mj/, les tangentes en ces deux points. Le plan osciilaieiii- en M exC la limile fers laquelle tend un plan pu.tKanI par M( et parallèle à M, ^, quand M, tend fci-x I\!.

Si par M on mène une parallèle ^\i' à M, /,, on peut diie que le plan osculateur est la limite du plan /^l('.

On peut voir géométriquement que le plan ainsi déhiii existe. En effet, par un poiut fixe 0 menons des parallèles OA a\ix différentes tangentes M? de la courbe : ces parallèles forment un cône qu'on appelle le cône directeur des tangentes. Soit OA^ la génératrice de ce cône parallèle à M, l^, le plan l^lt' mené par M/ parallèlement ii Mj /, est parallèle au plan AOA, et, quand M, tend vers M, OA^ tend vers OA et le plan AOA, tend vers le plan tangent au cône directeur des tangentes le long de OA- Le plan ÙiW tend donc vers une position limile parallèle au plan tangent au cône directeur des tangentes le long de la génératrice OA parallèle à M/; cette position limite est le plan osculateur en M.

Équation du plan osculateur. — ■ Fori du plan l'SW. Soient

les coordonnées du point M,

ins d'abord Féquation

276 COURS D'ANALYSE

celles du point M,. I.c« cosinus direcleurs de la tangenic eu M sont proportionnels il

fW, ?'("). i'(");

ceux de l;i t;iiigente en M, sont proportionnels à

flu + L), •.'(» + *), i'(« + /.).

Le plan tS\t', passant par M, a une équation do la forme

Ce plan devant contenir M/ et la parallèle Mi' à M,/,, un a, pour déterminer A, B, C, les deux conditions

^ ■ ' ' Af [n + /,) + B?' (« + A) + c-y (<. + /<) ^ 0.

Si l'on développe /■'[«+/(), d [u-\-h), ■^' {«+/*) par la formule de Taylor, la deuxième relation s'écrit

(2) A/' («) + B?' («) ■+ CI' (»)+/. [A/-" {»;, + B-f» (■„; + Ci" («)]