R= — AT
Ainsi, le rayon de courbure d'une section normale quelconque est déterminé en ^^randeur et en signe, dès qu'on a tracé ces deux hyperboles conjuguées, asymptotes aux directions asymptotiques AD et AD'. L'ensemble de ces deux hyperboles s'appelle encore V indicatrice relative au point A. Les directions des axes des deux Inperboles, At:' et A-', sont les directions principales en A, les rayons de courbure correspondants R' et R" (l'un positif, l'autre négatif) sont les rayons de courbure principaux ; les centres de courbure correspondants C et C" (l'un au-dessus, l'autre au-dessous de A) sont les centres de courbure principaux.
Si nous prenons comme axes de coordonnées {fig. 139) les axes
le l'indicatrice, ATcJ^et A?:", la quantité s^^ s'annule et la formule,
donnant R, devient
= /-ocos^
/n sm-o.
Dans la figure, nous supposons /'o^o; alors /« est négatif. Pour o z=: o, le ra\()ii R a un minimum R' donné par
le centre de coui'bure correspondant est en (7. Quand o augmente
à partir de zéro, le rayon R := AI augmente, le centre de courbure C de la section -s\B va en montant sur A;:. Quand la trace AB du plan de la section normale coïncide avec la direction asymptotique AD', R devient infini, G s'éloigne in(h''fiiiiment sur Kz.
Si le plan c- AB continue à tourner dans le même sens, sa trace AB' rencontre ensuite l'hyperbole conjuguée I' et l'on a
R =- Al'
COURBURE DES LIGNES TRACÉES SUR UNE SURFACE. jgy
Le rayon R est d'abord négatif, et très grand, puis il diminue en valeur absolue et, pour cp = -, il prend la valeur négative donnée . par la formule
le eentre de courbure de la section :ôAB, d'abord à l'infini audessous de A, monte jusqu'à la position C, correspondant à la section cAt:". La valeur de R" est donc un maximum relatif pour R. Si le plan normal continue à tourner, R repasse par les uièmes valeurs dans l'ordre inserse.
La formule donnant R s'écrit encore
11 peut arriver, en particulier, cpie R'= — R'; alors l'indicatrice est formée de deux hyperboles équilatéres conjuguées.
Troisième cas : /'o^o — -^o "^ *'• — T)i^iis ce cas, la courbure totale est nulle en A. Les deux directions asymptotiques, définies par l'équation
se
confondent en une seide AD. Si nous nous reportons à l'expres-
sion de -r;
— = t'o cos^o + 2 5o cosç sin o -i- to sin^ç.
nous voyons que le trinôme du deuxième membre est un carr('' parfait qui conserve un signe constant quand o varie. Ce trinôme s'annule povir une seule valeur de tangcc, correspondant précisément à la direction asymptotique unique AD.
Supposons, pour fixer les idées, /'o>o. Alors ^ est toujours
positif; toutes les sections normales ::AB ont leur centre de courbure au-dessus du plan tangent x ky. Pour étudier la variation de R, portons, sur la trace AB du plan de la section normale, une longueur
