R=: AI
1 désignant le point de rencontre de l'indicatrice avec AB. L'indicatrice a encore deux axes de symétrie, l'un A-' perpendiculaire aux deux droites, l'autre A—' parallèle aux deux droites cl, par suite, confondu avec AD. (^e sont les directions principales : les rayons de courbure et les centres de courbure correspondants sont les ravons de courbure el les centres de courbure principaux.
Prenons les directions principales A-' et AtJ' pour axes (/ig. i/|ï )• Alors 5oi=: o, et comme
r»ti)— -si == o, le produit /'o/o est nul.
Supposons /'o >> o : alors ^o = o- On a donc
-j^ = /'ocos2o, l\= AÏ".
Pour z> = o, Pi passe par un minimum R' donné par
le centre de courbure correspondant est en (]' . Quand '^ augmente, R augmente, le centre de courbure C de la section ^AB monte
sur A^, et, pour es = - , li est infini. Quand Zi croît de - à t:,
R repasse par les mêmes valeurs en sens inverse. Actuellement, ]\ a donc un minimum R', qui est l'un des ravons de courbure principaux, et pas de maximum. On peut dire qu'il a un maximum R''r=oo, ou encore que l'autre rayon de courbure principal est infini.
La formule qui donne R devient, dans ce cas,
Résumé. — En résumé, si Ton prend pour axes les deux directions principales Arr' et \tJ\ et si Ton appelle R' et R' les ravons de courbure principaux correspondants, avec leur signe, le rayon de courbure R d'une section normale, dont la trace AB, sur le plan langent, fait avec At:' un angle cp, est donné par la formule
400 CHAPITRI;: XM.
Dans le dernier cas que nous venons d'examiner, R"=od; la formule devient alors
^ = i^cos^?.
!2io. Détermination des directions principales et des rayons de courbure principaux en un point. — Nous venons de voir que, pour connaître le rayon de courbure d'une section n<n-male quelconque
Fig. i\2.
passant par un point A, il suffit de connaître les directions principales Att' et A-", en A, et les rayons de courbure princijiaux R' et R" correspondants, ^^oici comment on peut calculer ces éléments : .
Les axes étant suj^posés rectangulaires, mais clioisis d'une manière quelconque, nous avons trouvé, pour la valeur algébrique du rayon de courbure R d'une section normale, dont la trace AR sur le plan tangent a pour cosinus directeurs a, [i>, y :
/■a- -h iST-^j -T- i
Quand on fait tourner AR autour de A, R varie et il s'agit de trouver les directions de Al^ rendant R maximum ou minimum (ce seront les directions principales) et les valeurs maximum ef minimum de R (ce seront les rayons de courbure principaux). Ce prol)lème se ramène au problème élémentaire de la recherche du maximum et du minimum du quotient de deux trinômes. En effet, on a, entre les trois cosinus a, [j, "', la relation
nous pouvons donc écrire
Mais on a (n*' 240)
relation qui exprime que AB est dans le plan tangent en A. On a donc
Le deuxième membre étant homogène en a et [3, divisons haut et bas par a et faisons
a il vient
R (i-i- q-)ni'^->r- 2pqm -+- i -h p'^
^ i ^ p-2 ^ gi ~ tm--+- isni -+- /•
({uolient de deux trinômes du deuxième degré en ni.
La quantité m est le coefficient angulaire de la projection A, B, de AB sur le plan horizontal. Quand le plan de la section normale tourne autour de la normale en A, sa trace AB sur le plan tangent tourne autour de A et la projection A,B^ de cette trace tourne autour de A,. La quantité ni varie de — oo à -\-ao. Il s'agit de trouver les valeurs de di , rendant R maximum ou minimum, et les valeurs maximum ou minimuui de R.
Directions principales, — Les valeurs de ///, rendant R maximum ou minimum, s'obtiennent en égalant à zéro la dérivée du deuxième membre par rapport à m :
[( i -^ q-)/n -^pq] (trn^ -f- 2 5//?, + r)
— {tm -^ s)[{\^ q'^)m~-^~ ■?.pqin -^ {\-^ p''-)\ = o^
OU, en réduisant,
(lo) in-[s{\-[- q-) — pqt]
-\- m[r( i -{- q'^ ) — t(i -^~ p^ )] ■+- pq r — s { i -i- p^ ) — o.
Cette é(piation en m a deux racines réelles, ni' et 7n\ qui sont
appi:li.. — Etciiiciits d'Analyse. — st. 2G
les coefficients angulaires des projections A,7:'^ et A,7:'| des directions principales At:' et At:'' sur le plan des ry.
On peut déterminer les directions principales par une autie méthode, quand on connaît les directions asymptotiques AD et AD' au point A. Les directions principales sont alors les bissectrices des angles formés par les directions asymptotiques.
Rayons de courbure principaux. — Si l'on fait
la quantité S est maximum ou minimum en même temps que R. Or on a
