Dérivées et différentielles partielles. - Soit

une fonction de deux variables indépendantes x et }'. Nous avons

au n" 6 donné les définitions et les notations usuelles pour les

dérivées partielles de z par rapport k x el à. y.

D'après la notation différentielle, y étant regardé comme une

constante, les différentielles successives de z par rapport à x

seront

dz = f'j. dx, d^z z= f'^., dx^, ... :

ce sont les différentielles partielles de z par rapport à x. Pour éviter toute confusion entre les différentielles partielles et les différentielles totales que nous étudierons plus loin, nous conviendrons d'employer un d de ronde pour désigner les différentielles partielles et nous écrirons

ôz=f'^dx, d'^z=fUdx\ ou encore

àz d^z „

Nous avons ainsi, dans la notation différentielle, les expressions des dérivées partielles de z par rapport à x.

INFINIMENT PETITS. — DIFFÉRENTIELLES. i\l

De même, z- est une fonction de )' quand on regarde a: comme constant; ses dérivées partielles successives par rapport à y

s'écriront

àz d^z

x: =f'y = ^' izh'^ fV = ^

La quantité — ^ est une fonction de x et y, si l'on regarde y comme constant, elle a une dérivée partielle par rapport à oc :

de même -^ a une dérivée partielle par rapport à y :

Nous avons démontré (n'' 6) que ces deux quantités sont e«a/e5. Nous les écrirons

d'-z dx dy '

OÙ Tordre des facteurs âx et dy du dénominateur peut être interverti. D'une manière générale, la dérivée d'ordre k de j-^ par

rapport à jK

est identique à la dérivée d'ordre h de —j, par rapport à x :

dx'>^ Xdy^

Ces deux dérivées partielles identiques se désignent par la notation

dx'^ dy^

23. Différentielles totales. — Soit encore z une fonction de deux variables indépendantes x ç^t y :

La différentielle totale de z est, par définition,

dz=f'jcdx-\-f'ydy, ou

az = -— dx -+- ■— dy,

dx ày -^ '

OU

dz = p dx -\- q dy,

dx et dy étant des accroissements arbitraires attribués aux variables indépendantes, accroissements que nous supposerons habituellement infiniment petits.

Exemple. — Soit, comme au n*^ 6,

z =i "i x^ -\- ^ x^ y^ — ôe^cosj'-, on a

dz •= (qx^-+- Sxy^ — 6e^ cosj) dx -+- (i2x^y^^ 6e^ ?injK) dy.