APPLICATIONS A LA MESURE DES AIRES PLANES
24. Fonction primitive. — Nous venons de voir comment on calcule la différentielle d'une fonction d'une variable indépendante X. On peut se poser le problème inverse de trouver une fonction d^ une variable indépendante x ayant une différentielle donnée f{x) dx.
Remarquons d'abord que, si l'on a trouvé une fonction '^{x) répondant à la question, c'est-à-dire telle que
d^(cc) = f(x) dx, OU encore
la fonction la plus générale répondant à la question est
C désignant une constante arbitraire. Cela résulte de ce que deuic fonctions ayant la même dérivée ne diffèrent que par une constante.
La fonction la plus générale C2(a^)-|-C, admettant une différentielle donnée f\x) dx^ s'appelle fonction primitive de f {x) ou encore intégrale indéfinie de la différentielle f {^x^ dx.
Dans des cas simples, on aperçoit immédiatement cette intégrale indéfinie. Aussi l'intégrale indéfinie de x dx est h C; celle
de ^2 J^ est TT +G; celle de cosx dx est sin:r-|-G, etc.
2o. Existence de l'intégrale indéfinie. — Soil f{x)dx une diflérentielle donnée, nous allons montrer qu'il existe toujours une fonction cp(:r) ayant pour différentielle /(^) dx\ la fonction la plus générale ayant pour différentielle y (:r) of^ ou l'intégrale indé^ finie de/(^) <fa7 est alors cp(a?) -f-C.
Construisons la courbe ayant pour équation en coordonnées
rectangulaires (//'o'. i5)
Considérons un arc continu de cette courbe, une ordonnée fixe MoPo d'abscisse a et une ordonnée variable MP d'abscisse x.
La valeur algébrique de l'aire A du segment PoMqMP est évidemment 'une fonction de x^ car elle est déterminée dés que x est
connu :
Nous allons démontrer que cette aire a précisément pour différentielle/(^) â^:r
d\. = f(x) dx.
En effet, quand x croît de PP' = Ajc, l'ordonnée MP -^y prend une nouvelle position :
JK-+-AJK=M'P',
et l'aire croît d'une quantité AA égale à PMM'P'.
Menons par M et M' des parallèles MH et JVFK à l*axe O^; l'accroissement AA est évidemment compris entre les deux rectangles PMHF et PKM'F : on a donc
j àa^ < AA < (7 -+- Aj/) A^,
et, en divisfint par àx que nous supposons positif,
AA
Quand Ix tend vers zéro, il en est de même de Ay ; le rapport —
étant compris entre y et une quantité qui tend vers y tend luimême vers y. La dérivée de A par rapport à x est donc y et l'on a
— =jK, dk=f(x)dx,
puisque j=/(a?).
On a donc ainsi défini graphiquement une fonction A = z){x) ayant pour différentielle /( .2;) <i^. La fonction la plus générale admettant cette différentielle est 'f{x)-\-C. Ce fait se conclut d'ailleurs de la figure, car le choix de l'ordonnée initiale MoPo est arbitraire; si l'on prend une autre ordonnée initiale M'^^ P'^ et si l'on appelle A' l'aire P'j, M'^ MF, cette aire A' est encore une fonction de X avant pour différentielle /(^) dx', elle est égale à A plus la valeur algébrique de l'aire P'^M'^jMoPo qui est une constante.
26. Notation. — Nous avons vu (n*^ 12) que la valeur algébrique de l'aire Po-^^o^J^P est. la limite de la somme des rectangles inscrits
A = \im[{xi -^ a)f(a) -{- {X2— xi)f(xi ) -^ . . . -^ {X — Xn~i)f{xn-i)],
limite qu'on écrit symboliquement
f{x)dx.
D'après cela, pour désigner la tonction la plus générale ayant pour différentielle /{x) dx, c'est-à-dire l'intégrale indéfinie
de /(x) dx, on emploie la notation 1 f[x) dx. On a donc, en
appelant cp (^) une fonction particulière ayant pour différentielle /(x) dx :
r/(x)dx = o(x)-i-C,
C désignant une constante arbitraire.
Quand on détermine ainsi Tinté^rale indéfinie d'une différen-
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tielle donnée /(^) <iic, on dit qu'on intègre cette différentielle ; on dit également qu'on fait une quadràtuie^ pour rappeler que cette opération revient à déterminer Faire d'un segment de courbe. On peut envisager le résultat ainsi obtenu à deux points de vue : i'^ Si l'on donne la différentielle J\x) dx et qu'on ne sache pas trouver analjtiqueraent la fonction admettant cette expression pour différentielle, on peut la définir graphiquement comme l'aire du segment de courbe y =zf(^x)\ 2" si l'on donne une courbe y=J\x)^ toutes les fois qu'on sait trouver une fonction o{x) admettant pour différentielle /{x)dx, on sait calculer l'aire d'un segment de cette courbe.
27. Tableau d'intégrales indéfinies usuelles. — Dans le Tableau suivant, G désigne la constante arbitraire introduite par l'intégration :
(1) lx"dx= — î — x"+i-+-C (n^-i),
(•2) , I cosx dx = s'mx -]- C, 1 sinxdx = — cosa7-+-C,
(3) I e^dx = e^^C, j a^ dx = j^ a^-h C,
où il faut mettre -+- ou — , suivant que x est >> ou <^ o. On peut écrire aussi
/dx
A étant une constante arbitraire du même signe que x^ car
h'kx =: L(it. x) -\-h{àz'k) où il faut prendre les deux signes -[si X est positif, et les deux signes — si :27 est négatif :
r dx
f5) / — arc SI n 37 -4- (.,
/dx p-j--^ = aie tanga7 + C,
^' dx IX — I
