IL

i" La condition est nécessaire. Considérons rintégrale

1 == / /(^, JK) dx -n- ^(x, y) dy,

prise le long d'une courbe C. joignant les deux points M,^ el M, de coordonnées x. y qIXq, y^^. Supposons que cette intégrale ne dépende pas du choix de la courbe C, mais seulement du point de départ Mq et du point d'arrivée M. Alors cette intégrale est une fonction de ^, j, ^o^Jo • ^n effet, la valeur de l'intégrale est déterminée, dès que l'on connaît les coordonnées x, y et Xq. y^ des deux points M et M^. On peut donc écrire

y) dx 4- o{x, y)dy = F(.r, y, Xq, jko).

Laissons fixe le point Mo et déplaçons infinimenl peu le point M {fig. i5ç)*) en lui faisant subir un déplacement arbitraire MM', de

Fig. i5o.

projections dx et dy. Alors, le premier membre de l'équation (4j croît de la quantité

(5) fij^^y)dx-V'o(x,y)dy,

car l'intégrale prise de M,^ en M' se compose de l'intégrale prise de

INTÉGRATION LK LONG D UNIî COURBE. 437

^[„ on M. plus l'élcinent d'intégrale provenant du déplaeement MM', élément qui est précisément Texpression (5). En même temps, le deuxième membre F(^, y, Xq^ jo) croît de sa différentielle

-— dx -Y- -— dy.

Ces deux accroissements sont égaux : on a donc, identiquement, quels que soient dx et dy,

ce qui montre que/(^^ -\- cp dy est une différentielle totale exacte d'une certaine fonction F de x et y.

-?:' La condition est suffisante. - En effet, supposons que f dx ^o dy soit une différentielle exacte, c'est-à-dire que

df ôo ôy ()x On a alors -

fiT.y) dx^r^ç(j:, y)dy = du{x, y),

a{x^y) désignant une certaine fonction de x et >'. L'intégrale! est, dans ce cas,

/ /(^, y) dx -4- cp(.r, y) dy =

L'intégrale indéfinie est u^ ou, en mettant les coordonnées en évidence, u(x^ y) et l'intégrale définie, différence des valeurs de M, aux deux points M et Mq,

J = u{x, y) — n(xo, jKo).

L'intégrale a donc alors une valeur indépendante du chemin et dépendant seulement du choix des points Mg et M. Le théorème est' démontré.

Remarque. — On peut, à l'aide de ce qui précède, interpréter géométriquement la formule (ii) du n"* 283 donnant l'intégrale d'une différentielle totale. En effet, pour calculer la différence u{x^ y) — w(a^„, ^q), il suffit de calculer l'intégrale I le long d'un chemin particulier. Prenons alors le chemin suivant : en partant

4i>8 CHAPITRE XIV.

do M„ nous suivrons une parallèle M„M' à Oy depuis le point M„ d'ordonnée y^^ jusqu'au point M' d'ordonnée j>^ ; puis, de là, une parallèle M' M à 0:2? depuis le point M' d'abscisse Xq jusqu'au point M d'abscisse x. La première partie de l'intégrale de Mj, en W est

car, sur Mo M', dx est nul; la deuxième, de M^en M. est

car, sur M' M. dy est nul.

On a donc

/ ?(^o, y) dy -+- / /(.r, y) dx.

ce qui est la formule (i i), à l'ordre des termes près.

On pouriait également obtenir une autre formule commode donnant u — u^i, en calculant l'intégrale le long de la droite M,)jVÎ.

289. Exemple tiré de la théorie mécanique de la chaleur. - Considérons un corps déterminé, par exemple une masse d'aii\ ou d'eau, ou de fer. La densité de ce cor[)s dépend de sa lempérature t et de sa pression/;; par suite, le volume v occu[)é par l'unité de masse du corps (quantité qu on appelle volume spécifique) dépend donc aussi de ces deux quantités.

Il existe donc, pour cliaque sorte de corps, une relation délcrminée entre/?, r, ^ :

qui est la re talion fondaineiiicde du corps.

[\ar exemple, pour les gaz parfaits obéissant aux lois de Mariotte et de Gaj-Lussac, la relation fondamentale esl

const.,

IMEGU.VTIOX LE LONG D UNE COURBE.

a désignant le coeflicient de dilaUiLion des gaz,

Nous pouvons toujours imaginer qu'on ait résolu réquation fondameiiUde d'un corps (6) par rapport à t^ de.faeon à la metire sous la forme

D'après cela, Tétat d'un corps déterminé dépend de deux variables indépendantes, la pression/:» et le \olume spécifique e; ^ est une fonction déterminée dey? et e.

On peut alors représenter grapiiiquement l'état du corps par un point M d'un plan, ayant pour coordonnées (7^,4'. 160)

OA = r,

par rapport à deux axes rectangulaires Oi' el Op. A chaque état du corps répond un point M dans le plan, et, inversement, à chaque point M iéj)ond un état du corps. G(! point M est le poiiil

Fi-. i()().

représentatif (\q, l'élat du corps. Quand le corps cliange d'élaj, sa piession el son volume spécifique varient d'une manière continue, le point repiésentatif M se (léplace (hins le planendécri- \ant une cerlaine courbe M,, M. Supposons que le corps soit dans un ceilain état, représenté par un point M, de coordonnées (' et p\ ])ro])(»sons-n()us d'amener le corps, de cet état, à un état infiniment voisin, repirsenlé par un point M', de coordonn('>es v -\- dv et p-\-dp. Il fiuit, pour cela, lui comuvunl([uer une certaine quantité de chaleur intinimenl ptHite oQ, dont l'expression est de la forme

r:o = }. dv^ -+- A dp,

46o CHAPITRE XIV.

OÙ les coefticients A et k sont des fonctions de p et /) déterminées pour chaque corps :

Nous ne nous occuperons pas ici de la signification physique de ces coefficients; mais voici maintenant le point capital dans la théorie de la chaleur, où se rencontre une application de la théorie précédente, (considérons deux états déterminés du corps représentés par les points Mo et M de coordonnées c^oi/?o et v, p. Supposons qu'on veuille faire passer le corps de TiHal M,, à l'état M, j)ar une suite d'états intermédiaires représentés successivement par les divers points d'une courbe continue G, joignant les points Mo et M {fig. i(3o). Cherchons la quantité totale de chaleur Q (positive ou négative) qu'il faut communiquer au corps pour réaliser cette transformation.

Pour cela, divisons l'arc Mo^Ipar des points M,, Mo. • • -, ^l«i, infiniment rapprochés et en nombre infiniment grand. La quantité de chaleur cherchée Q est la somme des quantités de chaleur infiniment petites qu'il faut communiquer au corps pour l'amener successivement de l'état Mo à Fétat M, , puis de l'état M, à l'état Mo, et ainsi de suite jusqu'en M. On a donc

rintégrati(ui étant faite le long de la courbe G. (Actuellement, r et p jouent le rôle de x et y dans la théorie analytique précédente.)

On a cru longtemps que cette quantité de chaleur Q dépendait uniquement de l'état initial Mo et de l'état final M, et non de la suite G des états intermédiaires : cela revenait à admettre que la quantité sous le signe d'intégration est une différentielle exacte. Mais on a reconnu que cette manière de voir était inexacte.

L'expression

l dv + /.• dp

jiest pas une différentielle totale exacte : la dérivée partielle j^ Il est pas égale à-r^- Dès lors, la quantité O ne dépend pas seulempnt des états initial et final Mo et M, mais de la suite des états

INTÉGRATION LE LONG DUNE COURBE. 46 ï

intermédiaires. La quantité de chaleur nécessaire pour faire passer un corps d'un état à un autre n'est pas déterminée par la seule connaissance de (;es deux états; elle ne l'est que si l'on donne la suite des états intermédiaires, c'est-à-dire la courbe C. Il se passe, pour cette quantité de chaleur, quelque chose d'analogue à ce qui se passe pour Faire d'un secteur MoOM {fig. i58); cette aire n'est pas déterminée quand on connaît seulement le point de départ M„ et le point d'arrivée M de l'arc Mo M : elle ne l'est que si l'on donne l'arc de courbe C joignant les deux points, et elle change avec le choix de cette courbe.

Théorème de Claasius. — l^a théorie mécanique de la chaleuiva maintenant nous fournir un exemple de difTérentielle totah; exacte. On appelle température absolue d'un corps, à t degrés centigrades, la quantité

Cette quantité est, pour un corps donné, une fonction déterminée de velp^ car t est une fonction connue de v et/?. Ceci posé, on démontre en physique que l'expression

est une différentielle totale exacte^ c'est-à-dire que l'on a

On peut alors poser

-dv^^dp=:i dS(i\ p),

b S étant une certaine fonction de v cl p. Cette fonction S s'appelle

\ entropie du corj)s. Si l'on considère l'intégrale

prise, de Mq en M, le long d'une courbe quelconque, cette inté

dS = S(r, />) — 8(^0, /?o)-

g raie est égale à

- (Mo)

Elle est donc indépendante des transformations subies par le €orps, pour passer du premier état au deuxième.

Théoi'ème de Mayer. — La môme théorie nous fournit un second exemple. Soit A l'inverse de l'équivalent mécanique de la l'haleur

Texpression

ôQ — Xp dv^ c'est-à-dire

(X — A/)) dv -+- k dp,

<st une différentielle totale.

Analogie géométrique. — Soient, dans un plan, deux points infiniment voisins M et M' de coordonnées x^^y el x -\-dx., y -\-dy. L'aire qA du secteur MOM', évaluée positivement dans le sens positif de rotation autour de O, est

ô A = - ( 37 dy — y dx ) ;

ce n'est pas une din'érentielle totale. Si l'on prend deux points Mo(^o, jKo) et M< (.'i?,, y^ ), il est évidemment absurde de demander Faire A d'un secteur M,, OM,, si l'on dit seulement que la courbe C dont on demande Taire va de M,, à M,. Il faut donner ceiiit ("ourbe. Taire est aloi's donnée ijar Tintéarale

.(Ml)

A= / -{xdy —

ydx)

prise le long de la courb(; C.

Mais comme analogie avec le théorème de Clausius.

0 \ I / X dy — y d.:

<'st la différentielle totale de - - > et Ton a

sans connaître la courbe (|ui va de iVJo en M,.

INÏliGRATIOX LE LONG d'uNE COURBE. iCh^

De même, comme analogie avec le théorème de Mayer,

ô A — X dy = {x dy -^ y dx )

est la différentielle totale de xy- et Ton a

/ oz\. — X dy ~— -{xiyi — xoyo).

IV. — DIFFERENTIELLES TOTALES A TROIS VARIABLES INDÉPENDANTES. — INTÉGRALES PRISES LE LONG D'UNE COURBE DANS L'ESPACE.

290. Conditions pour qu'une expression différentielle à trois variables indépendantes soit une différentielle totale exacte. — 11 est aisé d'étendre, à des expressions différentielles à trois variables, la théorie du paragraphe précédent, relative à des expressions à deux variables.

Considérons une expression de la forme

(0 f(x, y,z)dx-\-^(x,y,z)dy-}-à(x, y,z)dz,

oii J\x^y^ z)^ <^{x, jK, z) et '\i{x, y^ z) sont des fonctions données de ^, y, z. On peut se demander sous quelles conditions cette expression est la différentielle totale d'une fonction U(x, y, ^), c'est-à-dire peut être identifiée avec l'expression

i'i) dU = —-dx -h ^ dy -h —-

^ àx ôy ^ <)z

I.a réponse à cette question est donnée par le théorème suivant:

Théorème. — Pour que V expression (i) soit une dijjérentielle totale^ il faut et il suffit que les fonctions f^ o, tL vérifient les trois identités

àf ^ d^ <)^ <^± df

i)y ()x ' i)z ()y ' dx ~ ()z

i" Ces conditions sont nécessaires. ■ — En effel, si l'expression (i) peut être identifiée avec une dilTérentielle totale telle

que (2), on a, identiqiiemenl,

On vérifie alors, immédiatement, crue -^ est éaal à —, car ces

deux expressions sont égales à -; — r-\ on vérifie, de même, les deux autres conditions.

2° Les conditions (3) sont suffisantes. — iNous allons montrer que, si ces conditions sont satisfaites, il existe une fonction U, de :r, j>', z, vérifiant les trois relations (4), et déterminer cette fonction.

Pour cela, regardons d'abord z comme constant et commençons par chercher la fonction la plus générale

vérifiant seulement les deux premières relations (4 )

Comme :; est, provisoirement, regardé comme constant. U est une fonction des deux variables indépendantes x et r; d'après la théorie du paragraphe précédent, il existe une fonction U de x et y vérifiant les relations (5), car on a

df __ 00 à y Ox

et cette fonction est donnée par la formule

(^:^) V =f f{x,y,z)dx-^f o{xo, y, z)dy-^C{z\

C{z) étant une constante par rapport à x ely. On jjourra donc prendre, pour C(g), une fonction quelconque de z : quelle que soit cette fonction, la fonction U, de x, j', :;, définie par (6). vérifie les deux premières relations (4). Il reste maintenant à déterminer G. en fonction de z, de telle façon que l'on ait

àV ' , ,

INTÉGRATION LE LONG d'uNE COURBE. 465

En calculant -r- par la règle de ditFérentialion sous le signe / >

cl tenani compte de ce que C. est fonction de ^, nous aurons à vérifier l'équation

Mais, d'après les conditions (3) supposées remplies identiquement, on a

df{ X, y, z ) (hh ( .r , y, z )

âf(T,r.z) r'^ ()l{x, y, z)

ôx

dx = '^(^, J, 3) — tj/(^o,r, -)

de même,

dojxi,, y, z) ()'\>ixi^. y, z') Oz ~ dy

/ ;f^ dr=. I .dy^^{x„y,z)-6(x,.y,,z).

En remplaçant les intégrales par ces valeurs et réduisant, on voit que la relation ( -) devient

— ^^{x,,y,,z), (1 où

C(zj=^ ^(xo,y,,z)dz-i~K,

K étant une constante indépendante de a.\ y, z.

Finalement, la fonction U, admettant pour ditFérentielle totale lexpression (i ), est donnée par la formule

^' = / f(^^ y,^)d^-^ j '~^(2;o,y, z)dy+ I 'lixo, yo, ^) dz + K.

!291. Intégrale prise le long d'une courbe dans l'espace. — Imaginons, dans rcspace, uni; courbe C (Jig'. i^ii"), joignant deux points Mq et M, de coordonnées Jc,,, jKoi -^o et ^, j", z; on peut déllnir, comme dans le pLm, l'intégrale

^ = / /(^% r, ^)dx-^ r^(x, y, z)dy-^- '^^{x, y, z)dz,

APi'iJi.L. — l':tci>ii'nis d'A/iali/sc. — st. 30

prise le long de G, <le M^ en M. Pour cela, on ])rend, sur la courbe C, des poinls intermédiaires M,, Mj, . . ., M„, infiniment

rapprochés et en nombre infiniment grand. L'intégrale est, par définition, la limite de la somme

où n augmente indéfiniment, toutes les dilTérences Xi — a^o, Xo— Xi, . . -, Yi — Vo, y2—yii • . -, -I — -0, ^2— -in . • . tendant vers zéro.

L'intégrait; I, ainsi définie, peut facilement être ramenée à une intégrale simple ordinaire. En effet, le long de la courbe C, on peut exprimer les coordonnées x, y, z d'un point, en fonction d'un

paramètre t

x = \{t), y = ii.it), ^ = Hn,

(jui varie de ^o à ^,, quand le point (Jt',y, z) décrit la courbe de Mo en M. On a alors, d'après la règle du changement de variable dans une intégrale,

;x, V ) X' -4- ii ( X, iJL, V ) |jl' 4- 'l' ( X, ;ji, v ) v' ] di,

où nous écrivons pour al)réger A, ;jl, v, a', jjl', v' au lieu de A(/

^y.(/), v(/), et des dérivées a'(/ ), ;j.'( /), v'(^).

29^. Conditions pour qu'une intégrale prise, le long d'une

INTÉGRATION LE LONG d'uNE COURBE. 4^7

courbe dans l'espace, ne dépende que des points de départ et d'arrivée et non du chemin suivi. — (Considérons l'intégrale

?(^, r^^K<r + ^{^^ y;^^)dz,

prise, de My en M, le lonj» d'une courbe C. En gcnéral, les deux points M„ et M étant donnés, la valeur de Tintégrale change avec la courbe G. le long de laquelle on inlègre. Pour que l'intégrale l soit indépendante de la courbe G <'t dépende uniquement des points de départ et d'arrivé(j. il laut et il suffit que la quantité sous

le signe / soit une différentielle totale exacte d'une fonction U

de ^, jr, ^, c'est-à-dire que l'on ait

ùf do

ào

ù^ ùf

ôy Ox

'ôz '

'ô^~ Tz

et que l'intégrale U soit uniforme dans la région considérée.

La démonstration de cette proposition est identique à celle que nous avons donnée (n° 288) j)our le cas des intégrales prises le l(jng d'une courbe plane.

Remarque. — La formule qui termine le n*^ i290 et qui donne l'intégrale U d'une diiTérentielle totale peut s'interpréter géomé- Iriquement en remaiiquant que la différence U- — Uo des valeurs de U aux points M(^, y, z) et Mo(^o, jKo? ^o) s'obtient en calculant l'intégrale T le long du chemin suivant : i*' un segment ]MqM' parallèle A O^, du point M,, de cote z^^ au point M' de cote z ; 2" un segment MM" parallèle à Oj^, (Ju point M" d'ordonnée y^ au point M' d'ordonnée y; 3*^ un seguu3nt M "M parallèle à Ox, du [)oint M' d'abscisse Xq au point IM d'abscisse x.

293. Exemple tiré de la Mécanique. Travail. — Gonsidérons un point matériel M de coordonnées x, y, ;, sollicité par une force F ayant pour projections \, Y, Z. Si le point M subit un déplacement infiniment petit MM' de projections àx^ dy^ dz^ on sait que le travail élémentaire correspondant de la force F est donné par l'expression

(8) . \dx-+-Ydy -^Zdz.

Supposons que la force dépende seulement de la position du point; dans ce cas, X, Y, Z sont des fonctions de r, y, z :

le travail élémentaire est alors une expression différentielle comme celles que nous venons d'étudier.

Imaginons que le point matériel passe d'une position M(, à une position M, en suivant une courbe C (fig- i6i) : on définit alors le travail total S de la force F, correspondant à ce déplacement, de la façon suivante : on divise l'arc MqM en une infinité de parties infiniment petites par des points intermédiaires M,, IVL,, . . ., M,/ et Ton dit que le travail total S est la somme des travaux élémentaires de la force, pour les déplacements successifs Mo M,, M, Mo, . . . , M„M. On a ainsi

Xdx^Ydy-^Zdz,

l'intégrale étant prise le long de la courbe C.

En général, ce travail total S dépend, non seulement du point de départ M„ et du point d'arrivée M, mais aussi du chemin C suivi par le mobile. Pour que G soit indépendant du cliemin suivi, il faut et il suffit que l'expression X dx -\- Y dy -^"L dz soit la différentielle totale exacte d'une fonction uniforme U, c'est-à-dire qu'il existe une fonction uniforme U(.r, y, :?), telle que

y^dr -\-\ dy ^Zdz = d\] (.r, y, z )

ou, encore.

àz '

Quand cette fonction U existe, on l'appelle /o7ic//o/i des forces, et l'on dit que les forces dérivent d'une fonction des forces. Dans ce cas particulier, le travail total est donné par la formule

Ainsi, prenons un point M attiré par un centre (ixe O, pris comme origine, en raison inverse du carré de la distance {fig- i()2).

INTÉGRATION LE LONG d'uNE COURBE. 1^9

Si l'on appelle /• la distance OM, la force F a pour intensité

/{ désignant une constante positive. Les projections de cette force sur les axes sont

car les cosinus directeurs de OM sont -, —, -• Actuellement, le travail élémentaire a pour expression

\ dx -]-\ dy -\-Zdz = ^{x dx -\- y dy -^ z dz).

Alais, comme on a

on en déduit, en dilTérentiant, »

X dx + y dy -i- z dz = r d/-,

d'où

\ dx ^ Y dy -\~ Z dz = '-dr = dl — )

Cette expression est donc la différentielle exacte de la fonction

lj(x,y,z) =- -^ =

Il serait d'ailleurs facile de vérifier que les projections X, "i , Z de la force sont égales aux dérivées partielles de cette fonction U, par rapport à :r, y, z respectivement.