Condition pour qu'uns intégrale

dépende seulement du point de départ Mq et du point d'arrivée IM, et non du chemin suivi. — En général, une inté<;rale

prise de Mq en M, le long d'une courbe C, change de valeur quand, laissant fixes les points de départ et d'arrivée, on fait varier la courbe C, c'est-à-dire le chemin d'intéiiration. Ainsi

Tinté srrale

- / I X dy — y dx)

prise le long d'une courbe C représente l'aire du secteur OiM(j^>Ai {fig- i58). Si l'on prend la même intégrale, le long d'une autre courbe G', joignant les deux points, elle prend une autre ^ aleur. égale à Taire du secteur OM„C'M.

Mais il peut arriver qu'une intégrale lelle que 1 dé])ende scu-

INTEGRATION LE LONG D UNE COL'RBE.

lenient du point de départ M„ et du point d'arrivée ^î. sans dépendre du. chemin suivi C. Prenons, par exemple, l'intégrale

/ ( X ci y ~ y

dx)

prise le long d'une courbe G joignant les deux points >jMo et M

Comme la quantité sous le signe d'intégration est la difterentielle* totale de xy^ on peut écrire cette intégrale

d{xy).

L'intégrale indéfinie est donc ^y et l'intégrale définie, dilïérence des valeurs que prend xy aux deux points M et M,,, est ^

-^■y — ^ojc-

On voit que cette intégrale ne dépend que des coordonnées des points Mo et M, et non du choix de la courbe G : elle conserve la même valeur, quand on change la forme de G entre les deux points.

Nous, allons généraliser ce fait en démontrant la proposition suivante :

Théorème. — Pour qiC une intégrale

/( x, y ) dx -{-o{x. y)dy

pi'ise^ de M^ en M, le long d\ine courbe G, dépende uniquement du point de départ M^ et du point d^ arrivée M et non du

chemin saùn, il faut et il suffit que V expression

f{ X. y ) dx -4- o( X, y) dy

soit une différentielle totale exacte d' une fonction uniforme de X et y; c est-à-dire que l'on ait