APPLICATIONS
de la surface S qui se projette sur Aco, ; appelons Z, et ::, la plus grande et la plus petite valeur que prend la cote z aux divers points de la portion ABDE de surface S; sur la figure i64, Z,, serait la cote du point D et z^ celle du point A. Menons, par les points D et A. d'ordonnées Z, et :?,, des plans horizontaux
DE'A'B' et AB'D E'; nous formons ainsi deux cylindres avant pour base commune Aco, et pour hauteurs, Tun Z<. l'autre ::, ; le premier de ces CNlindres a un volume ZiAw, supérieur à r,, on peut l'appeler cylijidre circonscrit; le deuxième a un volume ô| Aoj< inférieur à v^. on peut Vix^TÇteXer cylindre insciit.T>Q même, nous comprendrons le volume (o entre deux cvlindres de base Awo, l'un circonscrit ayant pour hauteur Z2, l'autre inscrit avant pour hauteur z^. et ainsi de suite.
INous allons démontrer que le volume V est la limite de la somme des cylindres inscrits quand le nombre des divisi-ons Aw,, Aojo, .... Aco//, de la base, augmente indéfiniment, chacune de ces aires élémentaires se réduisant à un point
lini(^i Atoi-f- ^2 Aoj.2-f-
^«Aw„).
En effet.
les sommes
Vy^ (,.,^-...4(;,,,
^1 AtOi + ^2 -^^2 -f- . . . -f- S„ \lUii
sont composées d'un même nombre de termes, tous de même signe; pour démontrer qu'elles ont même limite, il suffit de démontrer que le rapport d'un terme de Fune des sommes au terme correspondant de l'autre tend vers i quand // augmente indéfiniment dans les conditions indiquées. Or on a
zi Awi< <!< Zi Awi;
d'où, en divisant par 3, Aoj,.
Pi Z,
i< — f-< -• ^1 Atoi ^1
Quand l'élément Ato, se réduit à un point P,, la cote maximum Z, de la surface S dans Ato, et la cote minimum z^ tendent^
l'une et l'autre, vers la cote du point P,,P,M,, et le rapport —
tend vers i. Le rapport - — ^ — ? compris entre i et un rapport tendant vers I, tend lui-même vers i. On ferait la même démonstration pour les rapports — ^ — , • • • , — 1^ — On peut donc écrire
\ = lim (^1 Acoi -r- z-i Aïoi -r- . . .-^ z,i Aco,j),
ce qui démontre bien que le volume est la limite vers laquelle tend la somme des cvlindres inscrits. On voit que nf>us sommes ainsi arrivés, par une voie analogue à celle que ncms avons suivie poui' évaluer l'aire d'un segment de courbe plane (n" 11), à un théorème analogue à celui qui consiste à dire que l'aire d'un segment est la limite de la somme des rectangles inscrits.
Notation. — Pour exprimer que V est la limite de la somme
Zi Aa>i -H z^ Acoj-^. . .-h 5/^ Ai»>„, on écrit
en mettant deux signes / . On répète deux fois le signe d'intégra-
lXTE(iRAr,KS DOUBLES KT TRIPLES. — APPLICATIONS. 47*
lion parce que. comme nous le vcri-ons plus loin, quand on veiil leuler numériqnemenl un volume par cette méthode, on esl nduit à calculer snccessivemenl deux intégrales simples. On a[)pellc Texpression
ca co
une intégrale double et, pour exprimer qu'il faut faire la somme des [)roduits z ckù corres[)()ndant à tons les éléments superficiels de Faire de la eourl)e C, on tlit que ï intégrale double est étendue à l'aire de la courbe G.
Remarque. On démontrerait de même que le volume V est la limite de la somme des cvlindres circonscrits Z, A(o,, /<2Aw2i • • • • On en conclut qu'il est aussi la limite de la somme des cylindres ayant pour- bases A(o,. Awj Aw/^ el, pour hauteurs respectives, le premier, une cote (pielconque de la surface S ayant son pi(xl dans A(o, ; le deuxième, une cote quelconque de la
surface S ayant son pied dans Ao)2 En efFet, la nouvelle
somme ainsi formée est comprise évidemment entre les deux
sommes
:;i A(Oi -h ;;2 ■^"->2 -!-.••-+- z,i Ao),, et
Z, A^)i+ Zo Ar,)2-f-. . .-h 'L,i A'.)/,.
jui tcinh'nt l'une et l'autre vers \ . Elle tend donc aussi vers \ Toutes ces pro[)ositions sont résumées [)ar l'équation unique
