X -^ pz = o
et, en dilférentianl par rappoi'l à j',
Donc
cil supposant, comme dans la figure 17.J, z positif pour les points de l'aire E. Vlors,
S = a I I - fho — ai I —
l'intégrale étant étendue à l'aire plane G.
Il est d'ailleurs évident, géométricpiement, que cos(N, c) = ->
car^ enjoignant le point O à un point M de la surface sphéricpie, on o])tient la noi-male, en M, faisant avec O^ un angle (IN,^V l^crivant que la projection de OM sur 0;3 est 3, on a
z ^^ a cos(i\, z),
cos( M, z )
Supposons, [)ar (exemple, que la courbe G soit la demi-circonférence décrite, dans le plan des a:y^ sur O V comme diamètre {fig- 173). Pour évaluer Faire sphérique qui se projette dans cette demi-circonférence G, nous calculerons l'intégrale double précédente, €11 prenant des coordonnées polaires r et 9 dans le plan des xy. jNous aurons
;; z= y/a- — Z'^, doi — r M dr,
d%dr
Intégrons d'abord, par rapport à r, en évaluant la partie T de la somme correspondant aux éléments situés entre deux rayons ()P et OP' faisant avec O^ les angles 0 et 0-[-«^/9. Pour tous ces éléments, 9 et dh sont les mêmes et /' varie de o à ( J^L ;= « cos 9, Mo étant le p(j!nt où C)P rein^ontre la demi-circonférenc(^ ; la somme des éléments ccnisuiéi-és est donc - ,
/■ dr
L'intégrale indétinie clanl - \J a- — /■-, on a T = a d^{ — a sinO + rt).
Reste à faire la somme des tranches d'éléments telles que T en faisant varier le rajon OP depuis la position OiP jusqu'à G)-, de façon à balayer toute l'aire du demi-cercle. Il faut, pour cela, faire varier 6 de o à - • On a donc enfin
:î:T = «2 r"(i — sinO)f/0.
L'intégrale indéfinie est B-|-cosG et l'intégrale définie -— i. Donc
TnÉORiîME DE \ iviAivi. — La coiirbc E, limitant sur la sphère Vaive S, divise le huitième de la sphère représentée sur la figure i^/S en deux parties : la partie intérieure à E a pour surface S; la partie extérieure a pour surface le huitième de la surface sphérique totale^ moins S,
Cette partie extérieure est donc équivalente au carré de côté a.
308. Autre exemple général d'intégrale double. — Soit une portion de surface courbe, limitée par un contour abcd { fig. 176) qui se projette horizontalement en G. Soit, d'autre part, 'i; une fonction continue, avant une valeur déterminée, en chaque point de la surface. Divisons la surface en éléments superficiels infiniment petits di et considérons la somme des produits obtenus, en multipliant l'étendue dcr de chaque élémejit par la valeur de (1/ sur cet élément. Cette somme est une intégrale double
Sf"
drs.
On peut la ramener à une intégrale double étendue à la projcc-
tioii (le la surface sur le plan des xy, projection limitée par la courbe C.
En ertet, en appelant cko la projection de d'y sur le plan des xy et (N, ^) Fangle aigu du plan tangent à la surface au point limite de ch avec le plan des xy^ on a
diù — di cos(N, z):
d'où
J J ' J J c.os{N,z)
Comme plus haut,
cos(N, z)
est une fonction de x et )-; la fonction 'i>, étant connue en chaque point M de la surface, est aussi une fonction des coordonnées xely de ce point. Donc on a, finalement, à calculer une intégrale double de la forme
F(x, y)dM,
étendue à Taire plane limitée par la courbe C. On la calculera, comme précédemment, en employant des coordonnées rectangulaires ou des coordonnées polaires.
V — APPLICATIONS. - INTEGRALES EULERIENNES. INTÉGRALES DE FRESNEL.
309. Intégrale eulérienne de première espèce. — Soient a el b deux constantes positives; on appelle intégrale eulérienne de première espèce Ymlé'^rule
]i{a,b)=l u'<-^{\ — uy'-'^du.
Cette intégrale a un sens tant que a el b sont positifs : elle devient infinie si l'un des nombres a et b est nul ou négatif (n- 128 et 129).
La valeur de l'intégrale ne change pas, quand on permute a
5()2 , CilAPlTUK \V.
et h. En elïer, si l'on c'I]an<;(' de xariabie en faisanl u = \ — i", du = — <i(',
les limites (le\lennent i el ♦>; en intcr\enissanl ces limites el ehaniieanl le si^ne, on a rinléi;Tale
e'est-à-dire, [uiisque la valeur d'une intégrale délinie ne dépend pas de la variable d'inlégralion,
\^{a, h) = \Mb. a).
Faisons encore le ehani;emenl de variable
u = sin^f), du = ■>. siiiO '«osO d^).
Les limites deviennent o et — el l'on a
B(a, ^) = -.>. /*'sin2''-i.Ocos2/^-iO^O. l'ar exemple, en l'aisanl
on a
On ramène; le calcul de ces intégrales au calcul d'inlégrales ne dépendant. que d'un paramètre de la façon suivanle.
310. Intégrale eulérienne de deuxième espèce. Soil a une constante j)ositive; on appelle intégrale eidérlennc de deuxième espèce rinté<;rale délinie
(2) V{a)= j W'-'^e^du.
Cette iatéiirale devient infinie, quand a est nul ou négatit Cn'^ 129). En faisant
u z=i x-y du = 2.r dx.
INTÉGRALES DOUBLES ET TRIPLES. — APPLICATIONS. 5o3
on a aussi
Voici quelques théorèmes sur ces intégraJes : i^ On a
En effet, supposons [a — i) positif, écrivons
r(«) =— / u^^-^de^",
et intégrons par parties, nous aurons '
r(«) = — j e-"zi'^-i[^ + (a — I) / u^-e"dii.
La partie intégrée est nulle, car w"~' s'annule pour n = o
et e~" pour f/ = ce . D'ailleurs, l'intégrale / u^^'-e'^du est égale
à F {a - i). Le ihéorènie est donc démontré.
Par rapplication répétée de ce théorème, on ramène le calcul crime intégrale eulérienne i\(i) au calcul d'une intégrale analogue, dans laquelle a est compris entre i et 2. En effet, a étant compris entre 4 et 5, par exemple, on écrira :
et l'on sera ramené à une intégrale, où le paramètre et — 3 est compris entre i et 2.
2"" Si a est un entier positif, on a
En elïel, d'après la propriété précédente, on ;j
r(2)=ir(0-
5o4 CHAPITRE XV.
Donc, quand n est entier positif,
F ( rt j =z 1 . 2 . . . ( a — •>. ) ( rt — I ) r ( i). Resle à calculer
rintéiirale inclélinie est — e"^'- et rinté<irale définie i. Donc r( i) = I, ce qui démontre la formule.
On peut remarquer que r(o) est inlinl : en eflet,
— du :
cette intégrale est infinie, car l'élément diflerentiel devient infini pour la limite inférieure ^^ = o, conime — ( n" 129).
Ainsi, on a
r(o) = cc, r(i) = i,
rr'2)-i, r(3) = i.'>., r(4) = i.-^..3
311. Réduction des fonctions B(rt, h) aux fonctions F. — Soient a et h deux nombres positifs, considérons la surface ayant pour équation
Proposons-nous d'évaluer le volume limité, latéralement, par les plans xOz et > O^; inférieurement, par la partie indéfinie du plan des xy située dans l'angle positif xOy et, supérieurement, par la surface (4). Ce volume est
V =. Ç fz diO,
l'intégration étant étendue à l'angle indéfini xO}-. Nous obtiendrons la formule que nous avons en vue, en employant, successivement, pour évaluer ce volume, les coordonnées cartésiennes et les coordonnées polaires dans le plan des xy. En coordonnées cartésiennes, on a
/ / ir2a-i e- .T^j2A-i e-y'dx dy.
Si nous intégrons (rabord par rapport à x, en donnant à >' une valeur conslanlc ()P et à dy une valeur eonstante PP, {fig. 177), nous avons à faire la somme
'dy 1 X'^
-le-'V/ic,
Fii
X variant de o à :j::^ ear Faire qui sert de base au volume est Fangie indélini xOy. Comme on a
r(a) = 2 / x'^'^-^er^'d:.
la tranelie T est (bornée par
T ^ y^^-i'-^ e-y'- dy - Via).
11 faut maintenant faire la somme de ces trancbes en faisant
varier
de o à x; ee qui donne, pour le volume.
V= ^-V{a) I y'^f>-'^e-y"-dy.
(^ette nouvelle intégrale étant -V(b), on a enfin
Prenons mainlenant des coordonnées polaires dans le plan
5o6 CHAPITRE XV
d(\s:rr- L'éléniciil sii[)crlici(^'l <:/ti) doit, alors, vive pris é^al à idHdr. L'équation de la surface devient, en iaisanl
a:- = rcosO, j' = /-sinO,
et le volume V est donné par
\ = r j zd'o = f r/-2«+2/^-i (?-'•= cos2^'-i G sin^/^-i0<i6f/r.
11 faut étendre cette intéi;ralc à l'anf^le indéfini de :r Or. l*renons d'abord la somme des éléments compris entre un rayon vecteur OA, faisant avec Ox Fangle ^, et le rayon infiniment voisin OA', faisant avec Ox l'angle 6-(-6/9. Dans la tranche T, ainsi définie, 9 et dH sont constants, /• varie de o à ce. On a donc
T = cos2'«-i 6 sin2/^-i 6 <r/0 / /-s^'+^z»-! c'^dr.
do
Cette dernière intégrale est - F (a-|- />), ("omme on le voit, en cliangeant dans l'expression
a en rt -|- b. Donc
T =: -cos2«-i8 sin2/'-i«iOr(a + <^).
Le v(dume entier est la somme de ces tranches, étendue à tout
rani:le xO y, c'est-à-dire obtenue en faisant varier 0 de o à - :,
0 df).
Mais la dernière intégrale est- B(<7, b); donc
Egalant ces deux valeurs de V, on a la formule cherchée
INTÉGRALES DOUHLKS ET TRfPLKS. — AI'PIJCATIONS. 5o7
(^oiiime application de ('rllc formule, faisons «-zzz-, b -^ - ,
nous aurons
Mais 1' ( I ) = I , B (-, -j =— , comme nous l'avons vu; donc où ii faul prendre la valeur |)osiLi\e, car l'(-) est [)osllif. Comme
en faisant a =:-, on obtient la formule
J' e- *' dx = - y/-.
v312. Tables numériques. — On trouvera, à la page 60 des Tahlcs de Houël^ déjà citées, une Table donnant l(\s valeurs de Lr( i -f-^) {)our les val(Mir> de x comj)rises entre o cl i. (k'ite Table permet de calculer la \aleui' de V ia) pour a quelc(m(pie, cai", à l'aide de la relation
on peut toujours ramcîucM- Fari^umenl à être compris entre 1 et 2.- La même Table [)ermet de calculer les intégrales B, car ces intégrales sont exprimées à l'aide des fonclions F' [)ar la formule (5).
.'M3. Intégrales de Fresnel. — Cherchons à calculer les deu\ intégrales
1= / cosx'^dx, •' — / sinx-r/.r.
Pour la [)remiére, c^onsich'i'ons la surface ((>) z — e-y'coix-,
et calculons, comme dans rexercice »311, le volume limité latéralement ])ar les plans ^O:: et yOz^ inférieurcment par la partie
Jo8 CEIAPITRE XY.
indéfinie du plan des xy située dans Tangle positif :rOj", et supérieurement par la surface. En évaluant le volume \ successivement en coordonnées rectangulaires et en coordonnées polaires, nous obtiendrons la formule cherchée.
Coo/ données rectans^ulaires. — On a
V == / I e-y''cosx^dx dj\ Si on laisse y et dy constants ( Ji^g'- '77% <>ii '^ 1^^ tranche T = e y'dy j cosx^dx — le ->V//,
1 désignant la valeur numérique de la première intégrale de Fresnel. T^e volume entier est
