DC»E

y désignant l'ordonnée d'un point de l'arc DG^E et l'indice (DG'E) de l'intégrale signifiant que cette intégrale est prise le long de l'arc DG'E. De même, le volume \" est

I y^ dx,

)' désignant l'ordonnée d'un point de l'arc DG'E. La différence de ces volumes est

OU, en invertissant les limites de la deuxième intégrale et chan-

lOO

géant son signe

«^(DC'E, ''(ECl))

V'-V'=;r f y'dx,

l'intégrale étant prise le long delà courbe dans le sens de la flèche. Ainsi, dans ce cas, l'intégrale prise le long du contour représente la différence des volumes engendrés par la portion d'aire placée au-dessus et la portion d'aire placée au-dessous de l'axe. Ce fait devient d'ailleurs évident si l'on remarque que, x et y désignant les coordonnées d'un point M qui décrit la courbe dans le sens indiqué, doo est positif quand x croît et négatif quand il décroît. La somme

dx

^fr-

contient alors positivement les éléments du volume engendré par l'aire DG'E et négativement les éléments du volume engendré par l'aire DC'E.

Nous avons supposé que la courbe n'est rencontrée qu'en deux points par une parallèle à Oy. Si la courbe a une forme plus compliquée, sans points doubles, on procédera comme pour les aires (//«. 26) et l'on montrera que les résultats précédents sont encore applicables : si l'axe ne traverse pas l'aire, le volume engendré est '^ j y'^ dx, l'intégrale étant prise le long de la courbe dans le sens indiqué. Si l'axe traverse Faire, cette intégrale donne la différence des volumes engendrés par les aires situées de part et d'autre de l'axe.

55. Exemple. — Volume du tore. — Le tore est une surface de révolution dont la méridienne est un cercle. L'axe de révolution étant pris pour axe Ox^ prenons pour axe des y la perpendiculaire abaissée du centre G du cercle générateur sur Ox. Soit OG = a, et soit R le rayon du cercle. Nous supposons que le cercle ne coupe pas l'axe, c'est-à-dire que a est supérieur à R. Le volume V du tore est égal à l'intégrale {fig- 4o)

■'^dx.