VOLUME I) UN SOLIDE A BASES PARALLELES

OP = x^ est un cercle de rayon MP =/, et l'on a

Donc d'après la formule générale précédemment établie (n'*48)

2 dx.

a et b désignant les abscisses des points A et B.

Dans cette intégrale, y est une fonction de x définie par l'équation de la méridienne/ [x^ y) = o.

On peut dire que le volume est égal à l'intégrale ir / f^ dx prise

le long de l'arc de courbe AMB.

52. Exemple. — Supposons que la méridienne soit une hyperbole équilatère ayant les axes pour asymptotes. Son équation est

xy = k-

Le volume de la tranche engendrée par A'AMBB' est alors

L'intégrale indéfinie étant - — , on a

V = TrÂ:«

Remarque. — Quand on fait croître b indéfiniment, V tend vers une limite

inV

APPELL. — ST

Nous avons vu, au contraire, que l'aire du segment plan A'AMBB' augmente indéfiniment, quand B s'éloigne sur l'hyperbole (n*^ 32).

53. Volume de révolution engendré par une courbe fermée plane. — Soit, dans le plan des ooy^ une courbe fermée C située d'un même côté de l'axe de révolution Ox {fig- 39, 1).

Fig. 3g.

Proposons-nous encore de calculer le volume engendré par la rotation de l'aire C autour de Ox. Pour cela, menons les tangentes à C perpendiculaires k Ox^ AA et BB'. Supposons qu'une parais lèle à Oy située à une abscisse OP = x coupe la courbe C en deux points M, et M2 d'ordonnées y< ely^- Le volume cherché \ est la différence des volumes, engendrés par les segments A'AMoBB' et A'AM^BB':

y = 111 yldx — izj y\

dx.

On peut écrire aussi

^ / yï^^-^i y\dx\.^

en intervertissant les limites de la deuxième intégrale et changeant son signe. On peut dire alors que le volume V est égal à l'intégrale

prise le long de la courbe C dans le sens de la flèche (sens négatif); c'est ce qu'on convient d'indiquer par l'indice (G) et le signe — surmontant l'intégrale.

VOLUME d'un solide A BASES PARALLÈLES. 99

Le moyen le plus simple de calculer cette intégrale (3) est d'exprimer les coordonnées x et y d'un point de la courbe G en fonction d'un paramètre t^

de telle façon que, t variant de a à p, le point de coordonnées x< et y fasse une fois le tour de la courbe G, dans le sens de la flèche. On a alors, en prenant t comme variable dans l'intégrale (3),

54. Cas où la courbe coupe l'axe. — Dans ce cas {fi g- 39, II), on évaluera séparément les volumes engendrés par les deux aires DG'E et DG'E, situées de part d'autre de l'axe Ox.

Il est facile de vérifier que l'intégrale

y'^dx,

prise le long de la courbe G dans le sens de la flèche, représente alors la différence V — Y" entre les volumes V et V' engendrés par ces deux aires. En effet, le volume engendré par DGŒ est