I-|-COS
, elle devient
cos^t dt
(i -+- cosit) dt
On a donc
V = 2u2aR2= 7rR2.27r,
02 CHAPlTKt: IV
Cas où le cercle coupe Vaxe. — Si le cercle coupe l'axe (cercle pointillé dans la figure 4o), a est moindre que R. L'intégrale
k: /jk2 dx,
prise le long de la circonférence du cercle générateur dans le sens de la flèche, est égale à la diff'érence des volumes V et V" engendrés par le segment CCD et le segment DG'C. On a donc alors, par le même calcul,
V— V"=TrR2.2ra.
56. Centre de gravité d'une aire plane homogène. Théorème de Guldin. — Quand on connaît le centre de gravité d'une aire plane supposée homogène, on en déduit facilement le volume engendré par cette aire tournant autour d'un axe situé dans son plan.
Commençons par rappeler les formules donnant le centre de gravité d'une aire plane.
Soit une aire plane homogène A, rapportée à deux axes Ox et Oy^ G son centre de gravité et Y l'ordonnée GG' du centre de gravité. Nous allons montrer qu'on a, dans tous les cas de ligure,
(5) AY= - f y'-dx,
l'intégrale étant prise le long de la courbe G qui limite l'aire, dans » le sens de la flèche {fig- Sp).
'En eifet, l'ordonnée Y du centre de gravité d'un système, de masse totale M, est donnée par
MY
my.
quand le système est décomposé en élémetits de masse m dont le centre de gravité a pour ordonnée y. L'aire considérée étant homogène, on peut admettre que la masse d'une portion de l'aire est exprimée par le même nombre que son aire.
Décomposons l'aire A par des parallèles à Oy en rectangles infiniment petits M,N4N2M2 de hauteur dx et appelons j^, et y 2 les ordonnées des deux points Mj et M2. Le centre de gravité g
\OLUME d'un solide A B\SES PARALLÈLES. lo3
du rectangle, étant au centre de figure, a pour ordonnée
D'ailleurs, quelle que soit la position des deux points M, et Mg par rapport à l'axe, qu'ils soient tous les deux d'un côté comme dans la figure ^g, I, ou l'un au-dessus et l'autre au-dessous, comme dans la figure 89, II, l'aire du rectangle est
m = {y-2~- Xi) dx\ on a donc
my = ( y., — y^) dx^^^^^' = ^ (jKi - y\,) dx.
La somme de ces produits étendue à toute l'aire est
^rny = - \ {y\—y\)dx, *^ Il
en appelant a ei b les jc des tangentes verticales AA' et BB'.
Cette somme étant égale au produit de l'aire totale A par l'ordonnée Y du centre de gravité, on a
AY= - / (yl-yhd^
Or, cette dernière intégrale est, comme nous l'avons vu plus haut, égale à l'intégrale
/ y~dx,
prise le long de la courbe limitant l'aire A, dans le sens de la flèche (sens négatif). La formule (5) est donc démontrée.
On trouverait de même l'abscisse X du centre de gravité G, par la formule
f x^dy, •
l'intégrale étant prise en sens contraire (sens positif) sur le contour.
Théorème de Guldin. — Le volume engendré par une aire plane A tournant autour cT un axe Ox situé dans son plan et
qui ne la traverse pas, est égal à faire A multipliée par la circonférence décrite par le centfe de gravité de V aire supposée homogène.
En effet, nous avons trouvé (n° 53) que le volume engendré \ est donné par la formule
y^ dx.
Mais la formule (5) montre que l'intégrale du deuxième membre
est égale à 2AY, Y désignant l'ordonnée du centre de gravité. On
a donc §
ce qui démontre le théorème, car 2 7: Y ou 2 7rGG' est la circonférence décrite par le centre de gravité.
Cas où la courbe coupe V axe. — Dans ce cas, la différence des volumes V et V " engendrés par les parties de l'aire situées audessus et au-dessous de l'axe, est donnée par la formule
V— ¥"=: TT f y^dx.
On a donc alors, d'après (5),
Y'-\"= A.ir.Y.
Ainsi, en appliquant à une aire qui traverse l'axe la formule fournie par le théorème de Guldin, on trouve la différence V — V.
En particulier, si l'on fait tourner une aire plane autour d'un axe de son plan passant par le centre de gravité, on a 1 =0,
ce qui signifie que les volumes engendrés par les deux parties EC'D et EC"D sont alors équivalents.
Le tore fournit un exemple simple de l'application de ce théorème. Nous avons trouvé, en effet, que le volume du tore est égal à l'aire A = tiR^ du cercle générateur multipliée par la circonférence 2 7za décrite par le centre du cercle, qui est évidemment son centre de gravité.
MOMENTS d'inertie. Io5
