CENTRES DE GRAVITÉ DES VOLUMES HOMOGÈNES

37. Moments d'inertie. — Etant donné un système de points matériels, on appelle :

Moment d'' inertie du système par rapport à un plan P, la somme Smo^ des produits obtenus en multipliant la masse m de chaque point par le carré de sa distance ô au plan P;

Moment d^ inertie du système par rapport :i un axe y,cf! ^ la somme S/?ir- des produits obtenus en multipliant la masse m de chaque point par le carré de sa distance r à l'axe aa' ;

Moment d'inertie du système par rapport à un point O^ la somme SmR- des produits obtenus en multipliant la masse m de chaque point par le carré de sa distance R au point O.

Prenons trois axes rectangulaires Oxyz et appelons u-y^-) \^zxi iKxy les moments d'inertie d'un système par rapport aux trois plans yOz, zOx^ xOy^ jjl^, [jlj, ]j,z ses moments d'inertie par rapport aux trois axes Ox^ Oj', G 5, et ^o son moment d'inertie par rapport au point O. On a

On en conclut immédiatement

[Ar ^ l-'-zx ~+~ l^xyt Ko = l^yz H- f^3.r + [J^xy = H-vs + l^x ',

ou, en langage ordinaire : le moment d'inertie d'un S) stème, par rapport à un axe, est égal à la somme de ses moments d'inertie par rapport à deux plans rectangulaires passant par l axe ; le moment d'inertie, par rapport à un point, est la somme des moments dHnertie par rapport aux trois faces d' un trièdre trirectangle ayant ce point pour sommet, ou la somme des moments d'inertie par rapport à une face et à l'arête opposée de ce trièdre.

io6

Si l'on veut calculer le moment d'inertie d un corps continu par rapport à un plan, un axe ou un point, on le divise en éléments, de masse infiniment petits dm et l'on calcule les sommes intégrales

I 0- dm, j r^ dm, j R2 ^/^^

dont chaque terme est le produit de la masse dm d'un élément par le carré de sa distance au plan, à l'axe ou au point.

58. Moments d'inertie des aires planes homogènes. — i'^ Rectangle homogène. — Soit un rectangle homogène M<IN\M2N2 : cherchons son moment d'inertie par rapport à un axe O^ parallèle à l'un des côtés M,N,, cet axe pouvant d'ailleurs occuper une position quelconque par rapport au rectangle, comme le montrent les trois cas de figures indiqués {/ig- 4i)- Appelons h la longueur

Fig.

du côté M,N,, y, etjv'2 les ordonnées des côtés M,N, et M^Na (^2>»7<), et 0 la masse de, l'unité de surface du rectangle. Si l'on considère, dans le rectangle, une bande infiniment mince comprise entre deux parallèles à O^ d'ordonnées jr etr-\-dy, sa masse est dm = phdj. Le carré delà distance de cette tranche dm k Ox est y- : on a donc, pour le moment d'inertie cherché u.^,

l^x= y"" dm = ph I jk2 ciy =

2" Aire plane homogène limitée par une courbe fermée sans points doubles. — Soit d'abord, comme dans la figure Sq, une aire plane homogène limitée par une courbe qui est rencontrée en deux points seulement M, et M2 par une parallèle à 0/ : appelons