Développements deL(i — x)^ L(i-|-a:), L . — Nous

avons rappelé au n*' 81 le développement de par une progression géométrique

convergente entre — i et -|- i . Multiplions les deux membres par dx et intégrons-les de o à x. Nous avons, après ^voir changé les signes.

développement convergent également entre — i et -}- 1 . Le développement converge encore pour x =^ — ^ i ; on peut démontrer et nous admettrons qu'il continue à représenter la fonction; on a donc alors

hi =\ h- — - H-

En changeant x en — x\ nous obtenons le développement de

Retranchant les deux développements précédents terme à terme

DÉVELOPPEMENT d'lNE FONCTION. l43

et remplaçant la différence des deux logarithmes par le logarithme du quotient, on a

I , I -h 37 X^ X^ ;272rt-t-J

On ramène aux développements précédents le développement de L(a-(-.T), où a est une constante positive différente de o. En effet, si l'on écrit a-\-x=:(i(\-\ — -)y on a

L{a -f- a?) = La -h L / iH j.

On est alors ramené au développement de L( i -| — ■ j, qui se déduit

du développement de L(i-}-^) par le changement de j:^ en -; et

Fon a

L(a-f-j7) = LaH -h- --— ..

développement convergent pour

87. Développement de arctang:r. — Nous avons établi plus haut, comme une conséquence de la théorie élémentaire des progressions géométriques, le développement

convergent pour x compris entre — i et -f- i .

En multipliant par dx et intégrant de o à :c, on a

oo'^ oc^ oc^

arc tanffa; =37 -h h.. ,

développement qui converge également entre — i et + i . Ce développement converge encore pour la limite .r = i ; comme arctangi est égal' à -, on a, comme dans l'exemple précédent,

Cette série converge très lentement et ne convient pas pour le calcul de iz.