II. — DIFFERENTIATION ET INTEGRATION DES SÉRIES ENTIÈRES

85. Théorème. — Pour obtenir la dérivée ou la fonction primitive d'une fonction définie par une série entière dans l'intervalle de convergence^ il suffit de dériver ou d'' intégrer la série terme à terme. C'est là un théorème très important que nous admettrons et qui justifie ce que nous avons dit en commençant, c'est que les séries entières peuvent, dans l'intervalle de 'convergence, être traitées comme des polynômes.

Voici ce qu'il faut entendre d'une façon précise par le théorème que nous venons d'énoncer :

Différentiation d^une série entière. — Soit une série de puissances :

dans l'intervalle de convergence, la dérivée de la fonction f(x)

s'obtient en prenant les dérivées des divers termes de la série^ c'est-à-dire que l'on a

f'{x) =: ai-+- 2a2''^ -H- . -H- Aia^a7«-i-f-. . .,

Intégration dUine série de puissances. — De même, dans l'intervalle de convergence, V intégrale de la fonction f{x) s'obtient en intégrant la série terme à terme, c'est-à-dire que Ton a

I /(x)dx = aosc -+- ai ^«2-5-