Développements de sin x et cos x — Soit d'abord

/(.r) = sina7; Appell. — l'Acinents d'analyse. — st.

l46 CHAPITRE VI.

on a, successivement,

f'{.T) = cosx, f"{x)— — sin:r, f"'(^x)— — cos:r, f^^'ix) = sina?, ....

Faisant x = o, on voit que la fonction et tontes les dérivées d'ordre pair s'anniilent; les dérivées d'ordre impair sont alternativement égales à -|- I et à — i .

On trouve ainsi le développement

Ce développement est convergent pour toutes les valeurs de x de — 00 à 4- c/^.

Mais ce fait ne suffit pas pour qu'on puisse affirmer, en toute rigueur, que la somme de la série est bien égale à sinj?. C'est ce que nous vérifierons plus loin. On peut aussi vérifier que l'erreur £„ du n** 89 tend vers zéro.

Pour avoir le développement de cos^r, il suffit de prendre la dérivée du développement précédent. On a ainsi

cosa:- = I —

91. Formule d'Euler. — On peut rattacher ces deux développements à celui de e^. Soit / l'unité complexe telle que

l^-^ — i et, par suite,

on a, par définition,

ix /2-y2 j3;y3 l'*jr.'t

En remplaçant les puissances successives de i par leurs valeurs, n voit que les termes de rang impair sont

et forment le développement de cosa;, puis, que les termes de ranj

DEVELOPPEiMENT D LNE FONCTION.

pair sonL

et forment le développement de i sin:r.

On a donc

g/x — ces a; H- isin:r.

Changeant x en — x^ on a de même

cosa7 — L siii^r.

Si, enfin, on ajoute et retranche ces formules membre à membre, on a

s\ux = — : (e'-^ — e-'^).