Vérification. — Voici comment on peut vérifier que les
deux développements ci-dessus représentent bien sin .r et cos^.
Posons
Il — X —
et proposons-nous de déterminer les fonctions u et v de la variable x. On voit immédiatement, en difïerentiant, que l'on a
(hi dv
dx ' dx
On en conclut, en multipliant la première équation par u et la deuxième par v et ajoutant,
du dv
dx dx
Le premier membre de cette relation étant la dérivée de - (m- -4- p'-), on en conclut, par l'intégration, que u- -f- r- est constant
G désignant une constante. Pour déterminer cette constante.
l48 CHAPITRE VI.
faisons ^ := o ; alors a se réduit à o, p à i , donc G = i et l'on a On lire de là
et, en portant dans la relation — - = c,
du , , ■ ^ , du
-7— = ±1 1/ 1 — w- , =b dx = — ^z=z=^ •
Dans cette dernière relation, le premier membre est la différentielle de =h a?, le deuxième de arcsinw; on a donc, en prenant le
signe +,
iT -h a = arc sin m, u — sin(:r -4- a),
a désignant une constante arbitraire; en prenant le signe — , on a
de même
— ;r -h |j — arc sin z^, w = sin( — x-^'^),
p désignant une constante arbitraire. Ces deux expressions rentrent l'une dans l'autre, car, en posant
la deuxième devient
-> w=:sin(- — X — a j = sin (a:- -H a).
Ensuite la formule v = -r- donne
dx
.V = cos(a" -t- a).
Pour déterminer a, remarquons encore que w et t^ se réduisent,
respectivement, à o et i pour x = o. Nous aurons, en faisant
o = sina, 1 = cosa.
Donc
où k est un entier positif, négatif ou nul; et l'on a enfin
w = sin (a: -h 2 A' 7:), ^' = cos(^ + 2/17:),
u = s'mx, V = cosa7.
DÉVELOPPEMENT d'UNE FONCTION. l49
93. Développement de (i-f-.x)'". — Soit m un nombre quelconque, positif ou négatif, entier ou fractionnaire. Appliquons la formule de Mac-Laurin au développement de
On a immédiatement
/'(:r) = /n(i-+-ar)"'-i, f" (x) ^ m{m -\) U-^ x)"^-^, f^P^(x) = m{m — i) . . .{m — p -^ i) (i -h xy^-P.
En faisant a: = o, on en déduit
La formule de Mac-Laurin donne alors
On a ainsi la formule du binôme étendue à un exposant quelconque.
Pour voir dans quelles limites cette série est convergente, prenons le rapport du terme en xP'^^ au terme précédent en xP : nous avons pour ce rapport
Quand p augmente indéfiniment, ce rapport tend vers — x. Donc, quand x est moindre que i en valeur absolue, la série est convergente ; quand x est supérieur à i en valeur absolue, elle est divergente. Nous allons vérifier que, dans l'intervalle de — i à -H i , la somme de la série est bien égale à ( i -f- x)"'-.
