V. — SERIE DE TAYLOR

98. Série de Taylor. Formule. — La formule de Mac-Laurin permet d'étudier une fonction /(a^) dans le voisinage de la valeur j; = o; nous avons vu, en effet, que la série de Mac-Laurin converge dans un intervalle symétrique par rapport à zéro.

Pour étudier la fonction /{x) dans le voisinage d'une autre valeur a^o, on fait un changement de variable en posant

alors X étant voisin de a, x' est voisin de zéro ; et l'on est ramené à étudier la fonction de x'

dans le voisinage de J^' = o. Pour cela, on développe /(« -j-^') suivant les puissances positives croissantes de x' . La formule qui donne ce développement est la formule d*^ Taylor.

DÉVELOPPEMENT d'uNE FONCTION • l53

Si, pour un instant, on pose

il s'agit de développer <^{x') en série de puissances entières et positives de x' . C'est ce qu'on fait en appliquant à cp {x') le développement de Mac-Laurin :

Cp(a7') = cp(0)+ —0'{0)-^ -—0"(0) -!-....

Or l'identité

cp(a;') —f^ia + x' )

et les identités qu'on en déduit, en prenant les dérivées successives des deux membres par rapport à x\ donnant évidemment, pour x' = o,

0(0) = /(a), o'(o)-/'(a), (p"(o)=/"(a), On a donc le développement

qui est le développement de Tajlor. Pour que ce développement soit applicable, il faut et il suffit que 'f (^') soit développable par la formule de Mac-Laurin.

Le développement (T) converge pour les valeurs de x' comprises dans un certain intervalle symétrique par rapport à :r' = o,

c'est-à-dire pour

Comme on a posé

ce développement représente donc la fonction f{x) pour les valeurs de X comprises entre a — a et « 4- a.

En remplaçant, dans le développement (T), a par x et x' par A, on écrit la même formule

99. Interprétation géométrique. — Considérons la courbe ayant pour équation

Si l'on développe y* (;r) parla série de Mac-Laurin, on obtient un développement qui représente un arc BB, de la courbe, compris entre deux ordonnées symétriques par rapport à Oy {fig- 55).

Pour étudier la courbe dans le voisinage d'un autre point A, d'abscisse a, on considère l'ordonnée AO' du point A et l'on transporte les axes parallèlement à eux-mêmes en O' de façon à les amener en O' x et O' y' . La nouvelle abscisse x' d'un point de la courbe est liée à l'ancienne x par la formule

L'équation de la courbe devient

et, pour étudier la courbe au voisinage du point A, on développe

f{a-\-x') suivant les puissances de x' . La série de Taylor ainsi

obtenue représente un nouvel arc GC, de la courbe, compris entre

deux ordonnées symétriques par rapport à O' y' .

Soit, par exemple,

équation d'une hyperbole ayant pour asymptotes ^r = i et y Si l'on forme le développement de Mac-Laurin,

il est convergent pour

DEVELOPPEMENT D UNE FONCTION

il représente l'arc Boo compris entre l'asymptote x trique de l'asymptote par rapport à Oy{fig. 56).

i55 et la sjmé-

Fig. 56.

Pour étudier la courbe au voisinage du point A d'abscisse

00' = 2, on fait

alors

r = r = — i-f-ic — a?'-h...;

*^ 1 + as-

celte nouvelle série, étant convergente pour

représente l'arc d'hyperbole — ce G compris entre l'asymptote verticale ;r' = — I et la symétrique x' =^ -^ \ de cette droite par rapport à la droite O' y' .

VI. - APPLICATION DES DEVELOPPEMENTS EN SERIES DE PUISSANCES A L'ÉTUDE DES FORMES INDÉTERMINÉES.

100. Formes indéterminées. — Les principaux types de formes indéterminées sont

-> — j O X ^, G", oc", I , oc — 00. G ce

Forme-' — Soient/(.2^) et C5(a7) deux fonctions de x qui s'annulent toutes deux pour x = a. Le rapport

l56 CHAPITRE VI.

n'a aucun sens pour.r = a; mais il peut arriver que ce rapport tende vers une limite quand x tend vers a; on dit alors que cette limite est la valeur du rapport pour x ^= a.

On démontre, dans les éléments de l'Algèbre, que si le rapport des dérivées

a une limite pour x =i a^ le rapport

cp(ar)

a également une limite et que ces limites sont les mêmes. Dans un grand nombre de cas, on peut employer les développements en série de la façon suivante : si l'on pose

le problème est de \o'\x si le rapport

tend vers une limite quand x' tend vers zéro et de trouver cette limite si elle existe. Si les deux fonctions sont développables par la formule de Tajlor, on les développera suivant les puissances de x' \ on pourra supprimer une certaine puissance de x' ^ comme facteur commun au numérateur et au dénominateur, et l'on verra immédiatement s'il existe une limite.

Par exemple, prenons le rapport

pour X ^= o. Ce rapport prend la forme -. Développons les deux termes suivant les puissances de x. On a

DÉVELOPPEMENT d'uNE FONCTION. [ 5;

Le rapport considéré est donc

Divisant haut et bas par x^ et faisant tendre oo vers zéro, on

T • ï trouve comme limite -

Gomme deuxième exemple, prenons

.pour :r = o. Ce rapport prend alors la forme -> car, x tendant

vers zéro, (i -h 5?)^ tend vers e. On peut encore développer le numérateur suivant les puissances croissantes de x. 11 suffît de remarquer que l'on a identiquement

caries deux membres ont niême logarithme népérien. Remplaçons L(iH-^) par son développement en série, on a

(i^xY^e 2^^"

en posant

Si, dans la série

on remplace u par sa valeur et si l'on ordonne le résultat par rapport aux puissances de :r, on a

Donc

(i -\- xy= e[\ X ^ -iP--h. . .

et le rapport proposé

devient, après la suppression du facteur x au numérateur et au dénominateur.

-en ; ex -r-

La limite cherchée est donc — - e.

Forme—' — Si deux fonctions /(^) et 'f(j?) deviennent infinies pour ^ = a, le rapport

prend, pour x ^=.a^ la forme — • En écrivant ce rapport

on est ramené à la forme -

On peut, dans certains cas, trouver directement la limite, sans passer par cette transformation. Soit, par exemple, le rapport

XP

OÙ p el m sont des nombres positifs. Quand x augmente indéfiniment, ce rapport prend la forme — • Pour trouver sa limite, développons e"^^ en série ; le rapport devient

xi>

mx m-x-

Soit n un entier supérieur à p. Divisons le numérateur et le dénominateur par x^., il vient

xP-"-

1 m 1 m^^ ni"^-^^

ar" I a;"-^ i . 2 . . . /i i . 2 . . . ( /i -1- 1 )

DÉVELOPPEMENT d'uNE FONCTION. iSq

Quand X augmente indéfiniment, le numérateur tend vers zéro; le, dénominateur augmente indéfiniment, car, après les n premiers termes du dénominateur qui tendent vers zéro, viennent des termes tous positifs qui augmentent indéfiniment.

Le rapport tend donc vers zéro.

Forme o X oo. — Cette forme se ramène à l'une des précédentes. Soit, en effet, un produit

dans lequel f\x) devient nul pour ^ == a et C5(^) infini. En écrivant ce produit

fix-)

on voit qu'il prend la forme -> et en l'écrivant

oix)

on voit ciLi'il prend la forme -•

Considérons par exemple le produit

37'" La:,

où m est positif. Quand x tend vers zéro, ce produit prend la forme o X oo.

La fonction lux ne peut pas être développée par la formule de Mac-Laurin. Nous ferons un changement de variable en posant

Pour faire tendre x vers zéro, il faut faire croître t indéfiniment par valeurs positives. On a alors

x"^ Lx = — t e-"'^ = — •

çmt

Pour t infini, ce dernier rapport tend 'vers zéro, d'après Fexemple précédent ; le produit x'^^hx tend donc vers zéro avec x.

Formes 0*^,000^1". — Qgs formes se ramènent aux précédentes en

l60 CHAPITIIS VI.

prenant les logarithmes des fonctions qui se présentent sous l'une de ces formes.

Ainsi, prenons la fonction

où, pour ^ = «,

L'expression

prend, pour :r = a, la forme o X oo. Soit, par exemple, l'expression

y = ^^, où X tend vers zéro. On à

Ly = x\^x.

Quand X tend vers zéro, le produit xhx tend vers zéro, comme nous venons de le voir; donc ^y tend vers zéro et y tend vers i .

- Forme ce — oo. ^ Soit une différence

dans laquelle /(:c) et o[x) deviennent infinis pour^ = <7. On écrira cette différence

Quand x tend vers a, le rapport

prend la forme ~ • Si ce rapport tend vers une limite / différente de I, le facteur i — ^ — 7 tend vers la limite 1 — / différente de

zéro, et comme f {x) devient infini, la quantité considérée augmente au delà de toute limite.

Si le rapport ^7^^ tend vers i , le facteur i — ^^^f— ^ tend vers

DÉVELOPPEMENT D UNE FONCTION. ïGl

zéro; le facteiiry*(^) devient infini et la quantité considérée prend

la forme

oc X o;

elle peut donc alors avoir une limite.

Prenons, par exemple, la différence

0 = y/ a-* -T- .7- - -i- I — yx-- -+- a-

pour x=:r.-\-oc. Celte différence se présente alors sous la forme oc — ce. On constate immédiatement que le rapport des deux radicaux tend vers i. La différence peut donc avoir une limite. Pour la trouver, écrivons, en employant une méthode directe.

car, X étant positif, et, dans tous les cas,

On a donc

cj ■= X {\ -r- u)'-^ — a"(iH-p;-,

où

f/ rrr - H -, C = — •

Quand X esL très grand, a et ^' sont moindres que i et l'on peut développer (i -|- «) ' et (i + <^')^ P^^ ^'^ formule du binôme

Remplaçant a et v par leurs valeurs et ordonnant les deux séries par rapport aux puissances de -> on a

, ,T r I A' ir

ArpKLL. — l'.lcincnts d'anahjsc. — st.

lOa CHAPITRE VI. — DKVELOPPEMENT d'lNE FONCTION.

La diflerence o devient alors

et, pour .r ^-|- oc,

On peut remarquer que, pour j? = ^ oo, la ditïerence o n'est pas indéterminée; elle est inliniment grande et négative.