Développement de arc sin^. — On a

v/ 1 — as ■

D'après la formule générale précédente, où l'on change x en - a:-, on a

* "i , m{in — \),

Faisons m =^ — -■> alors

et l'on trouve

Multiplions les deux membres par dx et intégrons de o à x^ ii

vient

I x'^ i . 3 x^ arc sin .7- = x + ^r -+- — ; " - -r- • • • • 'ju 3 -2.4 3

Ces développements sont convergents pour x compris entro — I et -f- r, 1 arc étant compris entre — — et -h 7*

97. Méthode des coefficients indéterminés. — Dans les applications, on emploie souvent la méthode des coefticients indéterminés pour calculer les premiers termes du développement d'une fonction en série de puissances.

Prenons par exemple la fonction

sin.r lanir.r = ,

COiX

qui est finie, ainsi que toutes ses dérivées, pour :r = o. Posons

cosx

Le premier membre changeant de signe avec .r, il doit en être de même du deuxième. La série ne doit donc contenir que des puissances impaires de x. Les coefficients (7o, «2? <^'o • • • ^^ni

l5l CHAPITRE VI.

nuls, et l'on peut, dans la série, mettre oc en facteur. On a ainsi, en chassant le dénominateur,

et, en remplaçant sina^ et cos :r par leurs développements, x''- x'*

6 l'îo

En faisant le produit des deux séries du deuxième membre et ordonnant suivant les puissances croissantes de .r, on doit trouver une série identique au premier membre : on a donc

d'où

On a donc

tanga? = X — -h —T-