OC
la figure 3. Dans cette figure on suppose que x variant de <2 = OA à c = OC, JK soit représenté par le trait iniaterrompu A'C; puis
INTRODUCTION. D
que j: \ariaiil de c ^=- OC^ à 6 = OB, y soit représenté par le trait iiiiiUcrroiupii ( ^, B' comnieneant en un point C) autre que C sur rordonnée de G. On dira alors que, pour x = c.la fonetion ^ 6st diseontinue. Quand x tend vers c en eroissant, y tend vers j'ordonnée CC ; quand x tend vers c en décroissant, y tend vers GC, ; enfin, pour x ■=^ c^ il pourniit arriver que y soit égal à une troisième ordonnée GiN distincte de GG' et de GG, . Ge genre de discontinuités est très rare ; le passage par Finlini est la discontinuité la plus fréquente.
4. Pente en un point; dérivée. — Etant donnée une ligne représentant la variation d'une fonction continue y =r/(^), on appelle pente de cette ligne en un point M \dL pente, c'est-à-dire le coefficient angulaire^ de la tangente MT en ce point {fig. i).
On démontre en Géométrie analytique que cette pente est la dérivée de k par rapporta x^ dérivée que l'on désigne par la notation y^ ou y' ou/' (^) ou —-' Quand une fonction est continue,
la pente de sa ligne représentative, c'est-à-dire la dérivée, peut être continue ou discontinue.
Par exemple, sur le demi-cercle de la figure 2, la pente ou dérivée est continue, excepté aux points A et B où elle devient infinie.
Le long de la courbe de la figure 4 la dérivée varie d'une manière
Fig. 4
continue, excepté au point A où la tangente passe brusquement de la position AT à la position AT'; un point tel que A s'appelle un point anguleux.
Sur la courbe de la figure 5, qui présente en A un rebrousse-
ment à tangente parallèle à Or, la dérivée est continue partout, excepté au point A où elle est infinie.
Fig. 5.
o. Théorème des accroissements finis. — Soit un intervalle a, b dans lequel une fonction uniforme y* (:r) est continue et admet une dérivée continue. Le théorème des accroissements finis est le suivant :
// existe^ entre a et 6, au moins une valeur c telle qu' on ait
En effet, construisons l'arc de courbe
en faisant varier .^ de a à h. Cet arc part du point A
!t aboutit au point B
ix = h,y=f{h)\.
Sur l'arc AB {^fig. 6), il existe évidemment au moins un point G d'abscisse c telle que la tangente en C soit parallèle à AB. C'est ce fait qu'exprime la formule (2) : le coefficient angulaire de la corde AB est
h-a ' celui de la tangente en G est
INTRODUCTION
En écrivant que ces deux coefficients angulaires sont égaux, on a la formule à démontrer (2 ).
Fig. 6.
iutre notai ion. — Soit
la valeur c, qui est comprise entre a et 6, peut s'écrire
9 étant an nombre compris entre o et i . La formule prend alors la forme souvent employée
f{a-^h)-f(a) = hf(a-^bh).
Applications. — i" Si une fonction/ (^) a sa dérivée constamment nulle, elle est constante. En effet, soient a et b deux valeurs quelconques de :r; on a, d'après la formule des accroissements
finis,
f{b)~/(a):^(b-a)f'ic\
C étant un nombre compris entre a et b; mais, par hypothèse, /'(c) = 0, puisque /'(.'>c) est supposée nulle quel que soit x' : on a
donc
fib)=f(a).
La fonction ayant la même valeur pour deux valeurs quelconques de la variable x est constante.
p/' Théorème de Rolle. — Soit une fonction uniforme y(^)
continue dans un ccvi.
n intervalle et admettant une dérivée con-
tinue : si (f et 0 désignent deux racines consécutives de cette Fonction dans l'intervalle considéré, la dérivéey' (^) s'annule «w moins une fois entre et et b. En effet, par hypothèse,
/(a) = o, f{h) = o; la formule des ac(^roissements finis ( 2) donne donc
et la dérivée s'annule au moins une fois entre a et b. Graphiquement {/ig' 7 ). cela veut dire que si une coui'be continue, à pente
continue, coupe Ox en deux points A et B, il existe enlie V cl B au moins un point G où la tangente est parallèle à 0:r.
Il va de soi qu'il peut j avoir plusieurs valeurs de ûc comprises entre a et b et annulant la dérivée, c'est-à-dire plusieurs points où la tangente est parallèle à Ox. Ainsi, dans la courbe de la lii^u rc 7, il j a, entre A et B, trois points où la tangente est horizontale.
On conclut immédiatement de ce théorème qu'entre deux racines consécutives de la dérivéey'(j;) il y a, au plus^ une racine de la fonction. Ainsi, entre les points G et D {fig. 7) où les tangentes sont horizontales et qui se suivent sur la courbe, il y a une racine def(x) correspondant au point B; entre les points G' et G, il n'y en a pas.
3" Formule générale des accroissements finis ou formule de l'ayloi'. — Onpeutgénéraliser la formule précédente commeil suit : soit / (x) une fonction uniforme et continue dans l'intervalle a, 6, limites comprises, admettant, dans cet intervalle, des dérivées suc-
INTRODUCTION
cessives jusqu'à l'ordre n inclus. iNcms allons démontrer la formule^ :
