I.2.. .(n—fy \.i...n
D'après les hypothèses faites, cette fonction de jrestcontinuedans l'intervalle (a, b); elle admet une dérivée dans cet intervalle, car chacun des termes, en nombre fini, qui la composent en admet une. On peut donc lui appliquer le théorème précédent des accroissements finis. Cette fonction s'annule pour x = a d'après la définition (4) de A; elle s'annule identiquement pour x = b. Donc sa dérivée s'annule pour une valeur jc == c comprise en a et 6. Calculons la dérivée cd'(^) de (4) en remarquant que chaque terme de la forme (b — •^)VftI ^^^^^^^^^ dans la dérivée, une somme de deux termes que nous mettrons entre crochets; nous aurons
(b—xy^
L i.i...{n—'2y ^ i.-2....(n—iy -J
lO CHAPITRE I.
Le premier terme de chaque crochet étant détruit par le dernier du précédent, il reste
Cette dérivée s'annulant pour une valeur x = c, comprise entre a et 6, on a, en écrivant cp'(c) = o,
En remplaçant A par cette valeur dans la formule (4), on obtient la formule à démontrer (3).
Autre notation. — Si Ton fait b = a-{- h, c qui est compris entre <i et 6 a une valeur qu'on peut écrire
où 8 est un nombre positif compris entre o et i . On a alors la formule suivante [formule (3)] :
hn-l hn
6. Fonctions de deux ou plusieurs variables; dérivées jpartielles. — On dit qu'une variable z est fonction de deux variables indépendantes X et y lorsque z dépend de x et y, de telle façon que, X et y étant choisies arbitrairement, z est déterminée. Ainsi, la surface S d'un rectangle de base x et de hauteur y est
S = ory;
. c'est une fonction de deux variables indépendantes x et y.
Le volume V d'un cône circulaire droit est fonction du rayon de base X et de la hauteur y :
V = - Tzx^y.
Soit, en général,
une fonction des deux variables indépendantes x et r. Supposons qu'on donne à y une valeur déterminée et qu'on fasse varier x :
INTRODUCTION
z est alors une fonction de x qui admet une certaine dérivée par rapport à x. On désigne cette dérivée de :; par rapport à x parles diverses notations :
^- ai' /- p-
De même, si l'on donne à x une valeur déterminée et si l'on fait varier y, c- est une fonction de y admettant par rapport à y une
dérivée qu'on dénote :
, àz ^•^' dy^ ^y' ^'
Ces deux dérivées de z^ l'une par rapport à x^ l'autre par rapport à y, sont les dérivées partielles premières de z.
Exemple. — Soit la fonction
z =f{x^ y) = 3a?3-f- 4:c2j3 — ç^çx cosj; on trouve immédiatement
q = f'^ z= —- = ,9;2-2/^2| Qgx sinjK.
Dérivées partielles secondes. — Les dérivées partielles premières p et q sont, comme on le voit sur l'exemple précédent, de nouvelles fonctions des deux variables indépendantes x et y. Chacune d'elles admet donc, à son tour, une dérivée partielle par rapport cà X et une par rapport ky. Prenons d'abord
cette fonction admet une dérivée par rapport à x qu'on dénote par
et une dérivée partielle par rapport k y qu'on dénote par
— J xy —
dy •> dxây
De même q = /!= — admet une dérivée partielle par rapport à X :
d.r ''^^ dy dx
et une dérivée partielle par rapport ky :
dy •^•^' dr-
Exemple. — Si nous reprenons la fonction ci-dessus, dont nous avons calculé les dérivées premières, nous aurons immédiatement les dérivées secondes
àp .,, à- z
-7- = /,i = — - = i8^- H- 8/3 — 6e-^ cosv,
âx '' ' ôx^ -^ -^ '
f)y 'f-^y ()x dy
f^y= :r::iz ^s^a^j^^.^ee-^sinj,
âx '' ^ ^ Oy dx ^ -^ -^ '
On remarque sur cet exemple qu'on a trouvé pour/^.^ ^t/"^ /<:/ même expression; ce fait est général et 1 on peut énoncer le théorème suivant :
Théorèvik. — Dans le calcul des dérivées partielles d'une fonction de plusieurs variables., on peut intervertir r ordre des dérivations.
En d'autres termes, les dérivées t\ry^^flx ^*'*^^ identiques.
C'est ce que nous allons démontrer, en nous appuyant sur le théorème des accroissements finis.
Donnons à x un accroissement h et considérons l'accroissement correspondant de /(^,jk)5 soit
puis donnons à y un accroissement k et considérons l'accroissement correspondant de o(^, y). On a
^{Xy y ^ i^) - «(■x-, r)
INTRODUCTION. l3
[*uis recommençons un calcul analogue en donnant aux variables les mêmes accroissements, mais dans un ordre inverse. Nous aurons à considérer les différences
et
= /(;r H- /?, jK H- k) —/{^-^ h, y) —f{x, y-^k) -^f{x, y).
Les résultats de ces deux calculs étant les mêmes, on est conduit à l'égalité
<^{x, y -^ k) — 'Ji{x, y) = ^{x-^ h, y)—'^{x,y).
Transformons les deux membres d'après la formule des accroissements finis, appliquée à la variable j^ dans le premier membre e^ à la variable x dans le deuxième, nous trouvons
k^'y{x,y + %k) = h^yjx^^,h,y), ou bien, en introduisant de nouveau la fonction/ (^, j)'),
= hU'Ax + ^,Ky + k) -f'^{x 4- Kh,y)\:
transformons enfin chacune des parenthèses d'après la même formule, en considérant dans la première/'^ (:r, y -|- 9 A") comme une fonction de la lettre x et, dans la deuxième,/^ (.r H- 9, ^,y) comme une fonction de lalettrey ; puis supprimons dans les deux membres les facteurs égaux kh et /«A , il vient
fy^{x -^^'h,y-^%k) ==f:,yix -+- e, /^ y + e; k).
Quand h et k tendent tous les deux vers zéro, les accroissements donnés à x et y dans les deux fonctions /"^^(x^y) et/^^(.r,jK) tendent vers zéro; si donc nous supposons ces deux fonctions continues par rapport aux deux variables x el y, les deux membres de l'égalité précédente ont respectivement pour limites y' (:r, y) et/^^(x, y) et l'on a bien l'égalité
fyx{^^y)=Ay(^,y)
qu'il s'agissait de démontrer.
On emploie ordinairement les notations suivantes pour désigner les dérivées partielles secondes d'une fonction r d^ deux variable^
indépendantes.
On pose :
d'^z '= dx^- =
-fh,
ô'-z f)x dy
d'-z ôy ôx
fy.-
7. Retour aux fonctions d'une variable; théorème des fonctions composées. — Soient a, <^ des fonctions d'une même variable x. Supposons que j^ soit une fonction de a, t^ :
alors y est une fonction de x par l'intermédiaire de a, v. Nous nous proposons de calculer la dérivée de )^ par rapport à x. Nous allons montrer qu'on a
En effet, donnons à x un accroissement A:r, a et v prennent des accroissements correspondants A« et Ai^, et enfin y un accroissement Ay '
Ecrivons, en ajoutant et retranchant /(a, t^ + A^) :
\y =f(u-^ Aw, p -h Ap) —/{u, p -h Ap) h-/(m, t^ H- Ap) — /(w, (\).
D'après le théorème des accroissements finis, appliqué à / (m, t^ -f- At^) considéré comme fonction de la lettre w, on a
/( u + Am, ç -t- Ap) — /( w, p -f- Af ) = Aw/,'< ( w -+- 0 Aw, t^ -+- Iv ).
De'mème, d'après le théorème des accroissements finis appliqué à f {ii^ i) considéré comme fonction de la lettre p, on a
/(a, (^-4- Ap)— /(a, i^) =^\vfl{u, p-t-GiAc^),
6 et 9, étant des nombres compris entre o et i . On a donc
^y — ^uf'u ( w •+- 8 Am, (^ -h At^ ) -+- Ap/; {u, t^ + 6i Ap ) ;
le rapport de Faccroissement Aj^ de la fonction y à l'accroissement Aa; de la variable indépendante x est donc
A^ = -^/«("-^O^"^ p-4-Af)+ ;^/iî(«, ^'-hO, A(0.
INTRODUCTION
Quand ù^x tend vers zéro, A//, Ar, Aj tendent vers zéro ; ^, -^, — tendent respectivement vers y'^^ u\^^ v'^\ on a donc
La formule est ainsi démontrée/
Pour obtenir la dérivée j^., il faut donc prendre la somme des produits obtenus en multipliant la dérivée partielle de j' par rapport à chacune des lettres «, (^ par la dérivée de cette lettre.
Exemple. — Cette rèi;le comprend les règles connues relatives à la dérivée d'un produit, d'un quotient. Par exemple, si
on a
donc
De même si
y = «t', fi 'h '0 = ^^^,
fa = ^, /J = U
y'— -Il -V
Pour prendre un cas nouveau, soit
a et e étant des fonctions de x. Ici
La dérivée partielle f\^ doit être prise en regardant v comme constant; on a donc (dérivée de u^ par rapport à u) :
De même la dérivée partielle par rapport à v est prise en regardant a comme constant; on a donc (^dérivée de a^ par rapporta p) :
fl,= u-La\
l6 CHAPITRE I. — INTRODUCTION.
donc enfin
En particulier, soil
alors
donc
y^ = .-r3 (l + .t2 )•*•'-! 237 -h ( I -+- .772 yr' L ( i + ar^ ) 3 372,
Ln théorème analogue a lieu quand y dépend de trois ou d'un nombre quelconque de fonctions de .c. Par exemple, si
M, V, iv étant fonctions de jr, on a
I. - INFINIMENT PETITS. - DEUX THEOREMES FONDA- MENTAUX. - APPLICATION A L'AIRE D'UN SEGMENT DE COURBE PLANE.
8. Infiniment petits. — Le calcul différentiel et le calcul intégral reposent sur la notion des quantités infiniment petites et sur l'emploi de deux théorèmes fondamentaux.
On appelle quantité infiniment petite une quantité variable qui tend veis zéro. Ainsi, pour exprimer ce fait que sina; tend vers zéro, quand x tend vers zéro, on dit que sin.5^ est infiniment petit en même temps que x.
Considérons difTérentes quantités :
qui sont infiniment petites en même temps : cela veut dire que, quand Pune d'elles tend vers zéro, il en est de même des autres. Il est important de comparer ces quantités entre elles : comparons-les, par exemple, à a, que nous nommerons pour cette raison infiniment petit principal.
Infiniment petits du premier ordre. — On dit que ^ est infiniment petit du premier ordre par rapport à a, si le rapport tend vers une limite finie et difïérente de zéro, quand a tend vers
zéro
On peut alors poseï
Iini2-=^A- (k^o).
APPELL. — ST
l8 CHAPITRE 11.
£ étant infiniment petit en même temps que a; on en conclut
[3 = a(A: -4- e) = Aa -4- ea.
On a ainsi l'expression générale des infiniment petits du premier ordre : ce qui varie d'un infiniment petit du premier ordre à un autre, c'est la valeur de la constante k et de l'infiniment petit £. La quantité 'xk est appelée partie principale de p. On peut remarquer que le rapport de ^ à sa partie principale tend vers I, quand a tend vers zéro. On a, en effet,
et le second membre tend évidemment vers i quand a tend vers zéro.
Exemples. — Soit a un infiniment petit, l^a quantité
[E = sinaa
est infiniment petite avec a; elle est du premier ordre par rapport
à a, car le rapport
P sin 2a sin 2a a a 2 a
end vers 2 quand a tend vers zéro, puisque le rapport du sinus à l'arc tend vers i. La partie [principale de p est 2a : le rapport
de [3 à sa partie principale -^ tend vers i. De même
est un infiniment petit du premier ordre, car - tend vers 3; la partie principale de ji est 3a.
Infiniment petits du second ordre. — Soit encore j3 une quantité infiniment petite en même temps que a; mais supposons
que - tende vers zéro avec a. iVlors p est dit infiniment petit
d^ ordre supérieur au premier. On dit que ji est infiniment petit
du second ordre par rapport à a, si le rapport ~ tend vers une
INFINIMENT PETITS. — DIFFÉKENTIELLES. IQ
limite diflerente de zéro :
Iim|=A- {k^o).
On peut alors poser
e tendant vers zéro avec a; d'où
C'est là l'expression générale des infiniment petits du second ordre. La quantité kcf? est la partie principale de ^ et le rapport Y~i tend vers i quand a tend vers zéro.
= I — cosa
Exemple. — Soit [3 est infiniment petit avec a. On peut écrire
CL'' 1\ rt
Quand a tend vers zéro, le rapport entre parenthèses tend
vers I ; donc
li^i = i
^ est infiniment petit du second ordre par rapport à a et sa partie principale est —
Infiniment petits d'ordre n. — On peut généraliser ces notions comme il suit :
On dit que j3 est un infiniment petit d'ordre /i, par rapport à a Ji étant positif, si le rapport
tend vers une limite k différente de zéro. On peut alors écrire
£ étant infiniment petit avec a; d'où
koL^ est la partie principale de [3; le rapport de [ïi à sa partie prin«
cipale
Ara»
tend vers i quand a tend vers zéro.
Dans cet énoncé général, n est assujetti à être positif; il peut être entier ou fractionnaire.
Exemples. — Soit
Cette quantité est infiniment petite avec a. En remplaçant e'^ par le développement en série connu
on a
^ j.2.3 1.2.3.4 donc
,. p I hm-i- = -
[i est infinimen* petit du troisième ordre et sa partie principale Soit encore
est -- •
p = 5/2a-4-a2; P est infiniment petit avec a ; on a
Jl = y/2^ a;
donc
lim-^ = y/2;
INFINIMENT PETITS. — DIFFERENTIELLES. "il
p est infiniment petit d'ordre ^ par rapport à a, et sa partie principale est
OU y/aa.
Remarque. — Cette classification n'embrasse pas tous les infiniment petits. Il peut se faire qu'une quantité Jii soit infiniment petite avec a, mais ne soit cV aucun ordre j ni entier, ni fractionnaire. Par exemple
est infiniment petit avec a, mais le rapport
tend ve/'s zéro avec a quelque grand que soit l'exposant n. On ne peut donc assigner aucun ordre d'infiniment petit à p par rapport à a.
Ordre du produit de deux infiniment petits. — Si [i est infiniment petit d'ordre m par rapport à a et y d'ordre /z, le produit py est d'ordre m-|-/i, et sa partie principale est égale au produit des parties principales de ^ et de v. En effet, on a alors
où k et k' sont des constantes non nulles et ?:, s' des infiniment petits. On en conclut
71. désignant la quantité infiniment petite sA'-f- s'A^-f-ss'. Donc J3v est d'ordre m-|- /i, et sa partie principale est
kk' (x"^^fK
9. Principes de la méthode infinitésimale. Deux points de vue. — On peut employer, à deux points de vue différents, les quantités infiniment petites, dans la recherche des quantités finies.
Le premier point de vue, que. les anciens n'ont pas connu et dont la découverte est due à Newton et à Leibniz, consiste à regarder la quantité qu'on cherche comme limite du rapport de deux quantités infiniment petites. Par exemple, si l'on con-
sidère une courbe ajaiit pour équation, en coordonnées cartésiennes,
et si Ion cherche le coefficient angulaire de la tangente en un point M de coordonnées x et y, on considère un point voisin M' de coordonnées x-{-^x, r-f-Ar et l'on cherche la limite du rapport
quand A:r tend vers zéro. On est ainsi amené à la notion de dérivée; de sorte que ce premier point de vue conduit au calcul des dérivées ou au calcul différentiel.
Le deuxième point de vue, sous lequel on peut employer les infiniment petits, consiste à regarder une quantité finie comme la limite de la somme d'un nombre infiniment grand de quantités infiniment petites. Ce point de vue était connu des anciens. Par exemple, en géométrie élémentaire, on considère la longueur d'une circonférence comme la limite vers laquelle tend le périmètre d'un polygone inscrit dont le nombre des côtés augmente indéfiniment, chacun d'eux tendant vers zéro ; on. définit d'une façon analogue les aires planes ou courbes, certains volumes, etc. Ce second point de vue conduit au calcul intégral; nous verrons, en effet, qu'une intégrale est précisément la limite de la somme d'un nombre infiniment grand de quantités infiniment petites.
10. Deux théorèmes fondamentaux. — La méthode infinitésimale, envisagée successivement sous ces deux points de vue, repose sur deux théorèmes correspondants.
Théorî;me L — La limite du rapport de deux infiniment petits n est pas changée^ quand on remplace chacun d^ eux par un infiniment petit dont le rapport avec lui a pour limite l^ unité.
Soit le rapport de deux infiniment petits
Prenons deux autres iniiniment petits -3' et y' tels que
lim-7- = I, lim— = i.
il faut montrer que
lim-i-T = M m- •
Ce fait est évident, ear on peut écrire
{î'=(5(n-£), y' = Y(i + 0, et c' tendant vers zéro en même temps que ^3 et y. On a donc
le rapport ^ tend vers i et l'on a bien
lim-î— = lim-
En particulier, pour trouver la limite du rapport de deux infiniment petits [i et y, on peut remplacer 'chacun d'eux par sa partie principale, puisque le rapport d'un infiniment petit à sa partie principale tend vers, i .
Exemple. — Pour évaluer la limite du rapport
sin 3a sin 10L '
quand a tend Vers zéro, on peut remplacer respectivement sin3a et sin 2 a par 3a et 2 a, car les-^ rapports
sin 3a sin 2 a
tendent vers i . La limite cherchée est donc celle de — ou - •
