ICX

Théorème II. — La limite de la sommée cVun nombre infiniment grand d^ infiniment petits, tous de même signe, n'est pas changée, quand on remplace chacun d"* eux par un autre dont le raoport avec lui a pour lim^ite C unité.

Soient a,, a^, . . ., (J-n les quantités infiniment petites proposées.

toutes de même signe; supposons qu'on ait

lim(ai4- a2-f-...H- a„) = A

quand toutes ces quantités tendent vers zéro, n croissant indéfiniment. Soient maintenant |3i, [^a, •••, ^n d'autres quantités infiniment petites, en même nombre, telles que

a, as CLn

11 faut démontrer qu'on a également

lim(|3i+|32-F...+ p„)= A Considérons les rapports

ai ' a2 ' ' a«

dont 'les dénominateurs sont tous de même signe par hypothèse. D'après un théorème élémentaire d'algèbre, le rapport

Pi-4- p2H-...-t-p^^ ai -f- aa -h . . . -f- a„ '

obtenu en divisant la somme des numérateurs par celle des dénominateurs, est compris entre le plus grand et le plus petit des rapports (i), de sorte qu'on a

x,n ai -f- a2 -h . . .H- a„ a» '

— étant le plus petit et ^ le plus grand des rapports (i). Quand n

et — tendent vers i par hypothèse. Le rapport

augmente indéfiniment, tous les rapports (i) et en particulier —

ai -h aaH-. . .-h a;

étant compris entre deux quantités qui tendent vers i, tend luimême vers I, et comme le dénominateur tend vers A, il en est de même du numérateur.

Le théorème est donc démontré. On peut, en particulier, pour

évaluer la limite de (a, -h ^2 + . • -H-a//), remplacer chaque infiniment petit composant la somme par sa partie principale.

Remarque. — Il est essentiel de supposer les quantités aj, «2, ...^rj.^ toutes de mênne signe, s'il n'en était pas ainsi, on ne pourrait plus faire la démonstration, car le théorème d'algèbre sur lequel nous nous sommes appuyés ne serait plus applicable. 11 est facile de montrer, par un exemple, que la proposition n'est plus vraie.

Soit n un nombre pair, n = ip ; posons

sj n \ SI n ) \/ n \ \/n

s/ n, \ \/ n ) yj n \ sj

où tous les a d'indices impairs sont égaux au premier aj et tous ceux d'indices pairs au deuxième ol^. La somme ai -t- a^-h. . .-h of/i est — ou i. Soit, d'autre part,

\J n si n \J n

Quand n augmente indéfiniment, toutes ces quantités deviennent infiniment petites et les rapports

tendent vers i. Mais comme les a n'ont pas tous le même signe, on ne peut pas affirmer que la somme

tende vers la même limite que la somme des a. Effectivement, la somme des [3 est nulle et celle des a égale à i.

Infiniment petits équivalents. — Deux infiniment petits sont dits équivalents quand la limite de leur rapport est égale à Vanité. On peut alors substituer ces infiniment petits l'un à l'autre soit dans un rapport (théorème I), soit dans une somme (théorème II) : c'est pour cela qu'on les appelle équivalents.

il. Application du théorème II. — Aire d'un segment de courhe plane. — Considérons une courbe plane ayant pour équa-

tion, par rapport à des axes rectangulaires,

prenons un arc continu Mo M {fig- 8) de cette courbe et abaissons les perpendiculaires MoPo et MP sur l'axe O^. Proposons-nous d'évaluer l'aire PoMoMP. Nous supposerons d'abord que l'arc Mo M

soit au-dessus de Ox et que l'abscisse op àe M. soit supérieure à l'abscisse a de M,,.

Divisons PqP en n parties par des points Pi, P2, ^n~\ et

menons les ordonnées Pi M,, P2M2, . . ., P«, M„,, Ces ordonnées divisent l'aire S en n parties que nous appellerons a,, a^, . . ., a„. L'aire A étant évidemment la somme des parties dans lesquelles

on l'a divisée, on a

ai H- as -+- . . . -i- a„ = A.

Inscrivons maintenant dans la courbe des rectangles de la façon suivante. Par le point Mo menons une parallèle à Ox^ Mo H,, jusqu'à la rencontre de l'ordonnée M,P<; par M, menons une parallèle à Ox^ M, Ho, jusqu'à la rencontre avec M2P25 et ainsi de suite, par M/^, une parallèle à Ox^ M/^,H/,, jusqu'à la rencontre avec MP. Nous formons ainsi n rectangles inscrits PoMoH,P<, P, M, HoPo, '. . ., dont nous appellerons les aires |3,, ^2i • ' '•) p/i- Nous allons démontrer que l'aire A est la limite de la somme de ces rectangles quand n augmente indéfiniment, toutes les divisions PoP», Pi Po, •••, P,/„, P tendant vers zéro.

Il s'agit donc de démontrer que

lim(

INFINIMENT PKTITS. — DIFFERENTIELLES. 27

OU encore que la somme ^j + f:>2 + - • •+ t^/i a même limite que a« + a2-f-. . .-f-a,/. Pour cela, comme les quantités a<, a^, ..., a" sont toutes positives, il suffît de vérifier que tous les rapports

Pi P2 ^^

ai a^ a„

tendent vers i .

Supposons d'abord que, le long de l'arc MqM, l'ordonnée^ varie toujours dans le même sens, par exemple en croissant, comme dans la ligure 8. Considérons le rapport

nous allons démontrer qu'il tend vers i ; la démonstration est la même pour tous les autres. Menons par M^ une parallèle à O^ vers la gauche, jusqu'à la rencontre avec M, P, en K,, et appelons Yi et y. 2 les ordonnées M, P, et M2P2, A^ l'accroissement P< P2 de l'abscisse. L'aire a2=P,M,M2P2 est évidemment comprise entre le rectangle PiKjIVLPo de surface y 2^^ et le rectangle P, M, H2P2 appelé ,82 de surface r, ^x :

jKi Aa7 < «2 < .X2 A:r.

Divisons par y^ Aj: = [^2 •

Quand n augmente indéfiniment, Ax tend vers zéro, y 2 tend vers Yi et le rapport — tend vers i. Donc p-, étant compris entre i et un rapport qui tend vers i, tend lui-même vers i :

hm— =1.

La même démonstration s'appliquant à tous les rapports, le théorème est démontré; Faire A est la limite de la somme des rectangles inscrits.

Si, sur l'arc M^ M, l'ordonnée ne varie pas toujours dans le même sens {fi.g. 9), on peut partager cet arc en parties MqM/, M,M^, M^M le long de chacune desquelles l'ordonnée varie dans le

CBAPtTKB n.

même sens. Le raisonnement précèdent s'applique alors à chacune des aires partielles limitées par les ordonnées des points inlermé-

Fis. o.

diaires M/, M^ et, par suite, à l'aire totale A. qui est donc, dans tous les cas. donnée par

Expression analytique. — Appelons \ltg. 5j a et jr les

abscisses des extrémités M^ et M, r.. x^ J^a i les abscisses

des points intermédiaires M,. ^1. ^i .: les ordonnées M..P«.

M,P M. ,P,, sont/\a>.

r ^x 1 . r s r * "«—f * Servant de L»€l^t"^ ctnx i c«- i-.iii^ic? >< 'Liî à . — i .

x^ — X, X — jr,, , et l'on peut écrire

A = Iiiii[ j^. — a)/"fa)-f-' jt» — Tx^f jf,)-

quand n augmente indéfiniment, toutes les différences x, — 'i.

Xi — X, X — x«i tendant vers zéro. On peut écrire «eltt

exp: -. JUS forme abrégée

A = lîmS/(x)Ajr,

le signr " ifianl qu'il faut faire la somme des produitchaque ordonnée par l'accroissement correspondant de rabsci:>se. On écrit habituellement

A = ff{x)dx,

où le signe / qui représente une lettre S s'énonce <♦ somme ». On dit : « A égale somme f{x)dx ».

IXFIMMEXT PETITS. — DIFPÉ»EXTIELLE^- ig

Cette expression j f{^x)tix est ce qu on appelle une intégrale

simple. Nous verrons prochainement comment le calcul de ces intégrales simples se ramène à la recherche des fonctions primitives.

12. Valeur alg-ébrique de l'aire d'un segment. — Les raisonnements géométriqueï que nous avons faits sont indépendants de la disposition de la courbe par rapport aux axes de coordonnées. Mais, quand nous avons établi la formule

A = lim[(jr, — a)f{a) ~r- <^r,— Xj>/(jri)-i-. . -1 = lira $/' T IT = j f{jr)da:,

nous avons supposé que l'arc M«M était au-dessus deOxet quex était supérieur à a.

Voyons ce que représente cette même formule quand ces conditions ne sont pas remplies.

Supposons d'aliord que x soit supérieur à a. mais que lare

Fig. lo.

'^tr'v

MjM soit au-dessous de Oj:

analvtique que nous avons écrite

A = lim

. Alors, dans l'expression

f{a) H- (arj— xi>/(x,) -^. . . j. - x.,)/(x.,)].

toutes les ordonnées /( a ),/(jr4;, . . ., j j^-i >ont négatives ; les produits \^x^ — a)/{a}, (x* — x,)/(x,), . . . représentent donc les aires des rectangles inscrits changées de signe et la somme de ces produits a pour limite l'aire ^ft^i^^lV changée de signe. Pour ne pa? avoir à modifier les formules, il suffit donc de regarder oouime négatives les aires des segments situés au-dessous de Ox:

3o • CHAPITRE n.

on aura encore, dans ce cas,

k=Jf{x)dx.

Si l'arc MqM {fig- 1 1) est partiellement au-dessus et partielle-

Fig. II.

\lVI'

ment au-dessous de l'axe Ox qu'il coupe aux points M', M", M'" dans l'expression de la somme

A = lim[(iCi— a)/(a) + (a72 — a7i)/(a?,)-H...H-(^ — a?«i)/(ar„-i)] = j f{^)dx,

les aires de ceux des rectangles inscrits qui sont au-dessus de l'axe entrent positivement et les aires des rectangles inscrits qui sont au-dessous entrent négativement. La somme A représente donc la différence entre les aires des segments situés au-dessus et les aires des segments situés au-dessous de l'axe Ox :

A = PoIMoM — M'R'M"-h M"R"M'"— M'MP.

Cas où X est inférieur à a. —Si x était inférieur à a ( /ig. 1 2), les différences

Xi — a, Xi — Xi

X — Xn-i

représenteraient les bases des rectangles inscrits changées de signe; dans la somme

les aires des rectangles à ordonnées positives entreraient donc négativement et inversement.

INFINIMENT PETITS. — DIFFERENTIELLES.

expression

ff(^)

représenterait alors la différence entre les aires inférieures et les aires supérieures : M' RM''— PMM'— M''MoP„.

Fig. 12.

Po oa

Dans tous les cas, nous conviendrons d'appeler chacune des expressions obtenues la valeur algébrique de l'aire PoM^MP.

Remarque . - Les définitions précédentes s'étendent d'ellesmêmes au cas où la fonction j\x) présente des discontinuités en nombre fini entre a et x. La courbe y ^/(.r) a alors une forme comme celle de la figure i3, où il j a deux discontinuités pour les

Fig. i3.

Po H

deux abscisses OH et OK. L'aire de cette courbe a une valeur parfaitement déterminée, donnée toujours par la formule j f{x)dx\ en supposant a<^x^ elle est la somme algébrique des aires i, 2 et 3, où l'aire 3 est négative.