II. Soit l'intégrale

r'" xdx

On a ici

/ X ax 1

expression qui devient infinie avec b. L'intégrale proposée est donc infinie.

■234 ' CMAI'ITHK IX

J^a courbe

est encore asymptote à Ox; mais l'aire est actuellement infinie. m. Soit enfin

On a

h cosrr dx — smb.

Quand b augmente indéfiniment, sinZ> n'a aucune limite, toul en restant compris entre — i et -f- 1 . IV intégrale proposée est donc indé terminée.

136. Examen de quelques cas où la f onction /( j^ ) conserve un

signe constant pour de très grandes valeurs de x et tend vers zéro

quand x augmente indéfiniment. — i'* Cas particulier. — Soit

l'intégrale

dx

xP

ovx p est un exposant positif quelconque et a un nombre que nous

supposons positif, pour éviter que la valeur zéro, rendant — infini,

soit comprise dans l'intervalle d'intégration.

J^a fonction — conserve évidemment un signe constant quand x xi' ^ 1

augmente indéfiniment. Nous allons montrer que : l'intégrale a un

sens quand /? >> i ; l'intégrale est infinie quand p^\ .

En effet, calculons d'abord l'intégrale auxiliaire

r''dx r'' , b^-p a^-p

/ — = / ,t-Pdx= •

^a ^" Ja '-P '-f

Si p est plus grand que i, i — p est négatif et, quand b croît indéfiniment, b*~P tend vers zéro. L intégrale a donc alors une limite, et Ton peut écrire

dx a^'P

Si p est inférieur à i, i - p est positif et, quand b croît indétiniment, b^~P croît aussi au delà de toute limite; l'intégrale proposée est donc alors infinie.

Si /> = I , on a

expression ([ui devient infinie avec b. Donc

dx / ^ N

xi' ^'

Si Ton construit la courbe

xf

cette courbe a [)Our asymptote O.r : l'aire comprise entre une ordonnée lixe, la courbe et Fasymptote à une valeur finie pour /y >- 1 ; elle est infinie pour jo ^ i .

2" Intégrales se ramenant aux précédents. — ■ Soit une intéiirale

j f{x)dx,

dans laquelle la fonction f{x) conserve un signe constant, le signe -f- par exemple, quand x augmente indéfiniment; nous supposerons, de plus, que celte fonction tende vers zéro quand ./' devient infini.

Si Ton construit la courbe j^ =y'(j'), cette courbe peut couper O^ un nombre quelconque de fois; mais, à partir d'une abscisse déterminée, suffisamment grande, elle reste d'un même côté de O^r, au-dessus par exemple, et elle est asymptote à Qx. Nous voulons donner une règle pour reconnaître, dans des cas simples, si Taire comprise entre la courbe el l'axe des x est finie ou non.

Si l'on considère deux points G et B' de la courbe dans la partie qui est et demeure au-dessus de 0:r et si l'on appelle c et b les abscisses de ces deux points, CC et BB' leurs ordonnées, en supposant

on peut écrire

f{x-)dx= I f{x)dx-^ j /(

') dx .

La première intégrale du deuxième memln-e a un sens bien

Fis. (6.

défini; la deuxième, représentant Faire CC'B'B, croît constamment avec b] il s'agit de voir si elle reste finie quand b devient infini. Pour cela, on considère le produit

xi>f{x)

où p est positi,f. Ce produit se présente sous la forme

ce X o

quand x augmente indéfiniment. On clierclie si, par un choix convenable de p, on ne peut pas amener ce produit à avoir une limite.

1° Si, p ayant une certaine valeur supérieure à i, le produit xPf{x) tend vers une limite /, Tintégrale proposée est finie;

2*^ Si, p ayant une certaine valeur inférieure ou égale à i , le produit xPf{x) tend vers une limite /, différente de zéro^ l'intégrale proposée est infinie.

Premier cas. — Supposons d'abord qu'il existe un nombre/) supérieur à i , tel que le produit

xrf(x)

tende vers une limite /, limite qui peut d'ailleurs être nulle, quand X augmente indéfiniment. Dans ces conditions, il est évident que ce produit est très voisin de / quand x est très grand.

Partageons alors rintervalle de a à oo en deux parties de a à c et de c à 00, c étant très grand. On a

f f(x)dx= r f{x)dx-\- f f{x)dx.

La première intégrale du deuxième membre est finie ; il reste à montrer que la deuxième est aussi finie. Or, le produit

xPf{^x)

tendant vers / pour x infini, si Ton appelle M un nombre positif (ixe supérieur à /, il est évident que, x étant très grand, le produit xPf\x\ qui est très voisin de /, est inférieur à M. On peut donc choisir c assez grand pour que, x étant supérieur à c, on ait

Mais on a alors (n" 37)

dx

j^ /(^)rfT<;MJ^ J

Comme /> est plus grand que i, la deuxième intégrale est finie; la première, qui est moindre, est finie également, et l'intégrale proposée est finie. *

Deuxième cas. — Supposons maintenant qu'il existe un nombre p inférieur ou égal à i , tel que le produit

xPfix)

tende vers une limite /, différente de zéro, pour x^=oo. On pourra écrire l'intégrale proposée, comme plus haut.

f fix)dx-i- f f(x)d.z

c étant très grand. La première intégrale est finie : nous allons voir que la deuxième est infinie.

Soit ni un nombre ])ositif moindre que / :

Quand :2; est très grand, le produit xp/{x) est très voisin de / et, par suite, supérieur à m. On peut donc prendre c assez grand pour que, x étant supérieur à c, on ait

xi>f{x)>m, f(x) > —

Alors

dx

'ôcP

J f(x)dx>,n j

Comme ^^1, Fintégrale du deuxième membre est infinie, celle du premier également. L'intégrale proposée est donc inlinie.

Exemples. — l. Soit l'intégrale

actuellement

Donc le produit

tend vers i quand x augmente indéfiniment. L'cxposanl - ctani supérieur à i, l'intégrale est finie.