II. - INTÉGRALES DANS LESQUELLES UNE DES LIMITES EST INFINIE

135. Définition. — Soit une intégrale de la forme I = / f{x)dx.

Celte notation n'a aucun sens par elle-même, car jusqu'ici nous avons donné toutes les définitions en supposant les limites linies. Pour voir si l'on peut attribuer un sens à l'intégrale considérée, on considère l'intégrale auxiliaire

où la limite supérieure est finie. Puis, dans cette intégrale, on fait croître h indéfiniment. Alors deux cas se présentent :

i" Si l'intégrale / f(^x)dx tend vers une limite quand b aug-

mente indéfiniment, cette limite esl^ pai' définition, la valeur de l'inléiirale

f(x)dx.

'jy Si l'inlégrale / /(^) dx ne tend vers aucune limite quand 6 augmente indéfiniment, soit qu'elle devienne infimie. soit qu'elle

devienne indéterminée^ on dit que la notation

f^f{x)dx

n'a aucun sens ; ou encore on dit, suivant les cas, que l'intégrale

j f{x)dx

est infinie ou indéterminée.

Exemples. — T. Soit

/ ' e-^ dx .

Considérons l'intégrale auxiliaire

comme on le voit immédiatement, en remarquant que l'intégrale indéfinie est — e~^\ Quand b augmente indéfiniment, e~^ tend vers zéro. L'intégrale auxiliaire tend donc vers la limite i; on a alors

e-^ dx = I .

Géométriquement, si Ton construit la courbe

qui est asymptote à O^, notre raisonnement montre que l'aire comprise entre la courbe, Taxe Oy et l'asymptote O^ est finie et a pour valeur i .