III. Soil
On
Donc le produit
Xf(x)z=
tend vers i quand x augmente indéfiniment. L'exposant p étant égal à I, et la limite de xf{x) différente de zéro, l'intégrale considérée est infinie.
On peut se rendre compte de ce fait en remarquant que, pour X très grand, la valeur principale de
est- et que l'intégrale proposée se comporte comme
r dx
qui est infinie avec x
137. Remarque. — Nous avons, pour simplifier, supposé que /(a:-) conserve le même signe quand x est supérieur à un nombre fixe suffisamment grand et que /(a?) tend vers zéro quand a? devient infini. Il ne faudrait pas croire que cette dernière condition est nécessaire pour que l'intégrale
f{x) dx
soit finie, quand/(a7) conserve un signe constant pour a? très grand. Soit, par exemple,
I H- X* SMHiP
cette fonction conserve le signe -h quand x augmente indéfiniment; mais elle ne tend pas vers zéro, car, si l'on donne à ^ une valeur de la forme A-, k étant un entier quelconque aussi grand que l'on veut, on a
La courbe
x'* sin^ X
est donc au-dessus de (Jx\ elle n'est pas asyn^iptote àOa?, car elle touche la droite jk = i en tous les points ayant pour abscisses 0,71,27:, ..., A-, .... Pour la tracer, on peut rennarquer qu'elle touche aussi à la courbe
y = j en tous les points d'abscisses ~ , -^ j — > . . . (Jig. 67).
Fi!
Cependant l'intégrale
J^ i + a7*sin2.
est finie. Pour le voir, on ne peut pas employer la méthode précédente qui suppose que la courbe est asymptote à Ox.
Nous emploierons une méthode qui réussit dans beaucoup de cas et qui consiste à partager l'aire comprise entre la courbe et l'axe Oa? en tranches, par des ordonnées, et à vérifier que la série formée par la somme de ces tranches est convergente. Nous partagerons ici Faire par les verticales d'abscisses
