O, 71, 2TC

Nous aurons alors, en appelant ï«o, Uï, qui sont toutes positives,

Un les aires de ces tranches

"0= / f{x)dx, ui= /(x')dx, ..., iin= I J(x)dx.

Mettons à part Mo, nous allons montrer que la série

est convergente. Pour cela, nous chercherons une limite supérieure de W/j. Si, dans l'intégrale ii,i, on fait

X =^ nr. -{- t.

__ r ^ dt

"^"./^ j + (,^7r-t-n*sin2/'

TKTKGRALES DEFINIES. 24 I

et, comme

dt

r dt

r^ dt

dt

rns- / -4-

Cette intéfriale est é^rale à

car, si l'on partage l'intervalle d'intégration (o, ir) en deux, le premier de o à — et le second de - à -n:, on voit, en faisant dans la deuxième inté-

grale t ■= t. — t' , qu'elle est égale à la première.

On peut donc écrire, en divisant haut et bas par cos-^,

' «^(/i^Tr^tangf) I -h (/i2T:2iang/)2 et, en intégrant,

""^ n^^ Iarclang(/^2-nangO|^

La somme , '

Ml + «2 + •••-+-"« -1- •• •

a donc ses termes respectivement plus petits que ceux de la série convergente

Elle est donc convergente et l'aire comprise entre la courbe et O.r a une valeur finie.

Ce résultat tient à ce que, dans la courbe, les ondulations qui vont toucher la droite jk = i deviennent de plus en plus étroites, de telle façon que la somme de leurs aires est finie.

138. Examen de quelques cas où, x croissant indéfiniment, f{x) change constamment de signe. — Premier exemple. — Soit rinlégrale

siniF , dx.

Ai'PEi-L. — Eléments d'Analyse. — ST. 16

Actuellement, la fonction à intégrer,

sina"

est, quelque grand que soit x, tantôt positive et tantôt négative. Construisons la courbe

sina?

quand x varie de o à -f- oo : cette courbe part du point ^ = o, y z=i\'^ elle coupe O x aux points

37 = 71, :r=2 7r, ..., ;r = Att, ....

La courbe a la forme d'une sinusoïde, mais l'ordonnée maximum de chaque onde est moindre que l'ordonnée maximum de la précédente {^fig. 68).

Fiff. GS.

Appelons «<, ^2, •••, u,i les valeurs absolues des aires des diverses ondulations. On aura

Ui= I dx, 112= — / dx, u-i == / dx^ ... ;

en général,

"«■+-1 = (—!)'' / dx.

La figure montre que les aires successives u^^ Wo, . . . , auj^\ vont en décroissant et que l'aire ;<„,., tend vers zéro, quand Ji devient infini. C'est ce qu'on vérifie sur l'intégrale précédente donnant Un+\' Faisons-y le changement de variable

X = nr. -k- t\

les nouvelles limites pour t sont o et tx; on a de plus

sina^ = sm{n'7z -^- t) = { — i)"sini;

INTEGRALES DEFINIES.

lonc

lhi-\-\

I HT. ■+■ t

dt.

Cette intégrale diminue évidemment quand n augmente, et fend vers zéro quand n devient infini.

D'après eela, l'intégrale proposée

dx,

qui est la somme algébrique des aires des diverses ondes comprises entre la courbe et l'axe Ox^ est la limite de la somme de la série

Uy — M2 H- «3 M; H- ... .

Cette série a ses termes alternativement positifs et négatifs; chaque terme est plus petit que le précédent et le terme général u,i tend vers zéro. La série est donc convergente et l'intégrale considérée a une valeur déterminée égale à la somme de la série.

Nous verrons plus loin que cette valeur est -•

Deuxième exemple. — Intégrales de Fresnel :

Jf slnx^dx, I cosx^dx.

Ces intégrales se présentent dans la théorie de la diflraction de

la lumière. Nous allons montrer qu'elles ont un sens. Prenons la première et construisons la courbe

pour les valeurs positives de x. La courbe part de l'origine, où

elle est tangente à 0:r; elle coupe Taxe Ox aux points

x = o, X = \/t:, X = \/'nz, ..., x =:■ \J kr..

Elle est ondulée comme une sinusoïde; chaque ondulation a pour ordonnée maximum ou minimum -f- 1 ou — i . Mais les ondulations vont en se resserrant de plus en plus. En effet, la distance de deux points d'intersection consécutifs avec 0;r, A/^A,/,^,, est

y/( /i H- 1 ) t: — • y/^TT, ce qu'on écrit, en multipliant et divisant par la somme des radicaux,.

Cette distance décroît quand n augmente et tend vers zéro. On en conclut, comme le montre la forme de la courbe, que si

désignent les valeurs absolues des aires des diverses ondes, on a

Wi> W2> W3>. ..> Un,

et lim Un = o pour x =00.

L'intégrale / sin.3;-<:/:r, étant égale à la somme algébrique de

ces aires, est égale à la somme de la série suivante à termes alternativement positifs et négatifs

iii — w^ -H W3 — "i + • • . •

Cette série est convergente, puisque ses termes décroissent constamment et tendent vers zéro. L'intégrale considérée a donc un sens.

Le même raisonnement s'applique à

cosx^dx.

On démontre (t;oi> Intégrales doubles) que la valeur numérique

commune des deux intéi^rales de Fresnel est -

139. Cas OÙ les deux limites sont infinies. — Si l'on a une intégrale de la forme

pour voir si elle a un sens, on la partage en deux :

f f{x)dx-^ f f{x)dx.

Si chacune de ces intégrales a séparément un sens, la [)roposée ■en a un et elle est égale, par définition^ à leur somme.