MÉTHODE DES HYPOTHÈSES POUR LA SOLUTION DES PROBLËMES D'ARITHMÉTIQUE
2n. Supposons qu'un problème ait pour objet la délermina-
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tion d'un nombre inconnu, par la condition que deux nombres qui en dépendent soient égaux entre eux.
On parvient souvent à résoudre la question en faisant deux hypothèses arbitraires et successives sur la valeur du nombre inconnu et en examinant les valeurs correspondantes de la différence des deux nombres qui devraient être égaux d'après renoncé du problème. Nous indiquerons cette méthode sur un exemple, la manière de procéder étant la même dans tous les cas.
Problème. — On propose de payer 76 francs avec 23 pièces^ les unes de S francs et les autres de 2 francs.
Le nombre qu'il faut déterminer est ici le nombre dés pièces de 5 francs ; les deux nombres qui en dépendent et qui doivent être égaux d'après l'énoncé, sont 76 d'une part, et d'autre part la valeur des 23 pièces employées.
Supposons d'abord que le nombre des pièces de 5 francs soit 4« S'il y a 4 pièces de 5 francs, le nombre des pièces de 2 francs est 19, et la valeur des 23 pièces est 4 X 5 -h 19 X 2 ou 58. Le nombre 4 ne satisfait donc pas, et la différence des nombres qui devraient être égaux entre eux est 76 — 58 ou 18.
Supposons ensuite que le nombre des pièces de S francs soit 7 . S'il y a 7 pièces de 5 francs, le nombre des pièces de 2 francs est 16 et la valeur des 23 pièces est 7 X 5 -h 16 x 2 ou 67. Le nombre 7 ne satisfait donc pas, mais la différence des deux nombres qui devraient être égaux entre eux est seulement 76 — 67 ou 9.
En passant de la première hypothèse à la seconde, le nombre des pièces de 5 francs a augmenté de 3 unités, la différence des nombres qui doivent être égaux a diminué de 9 unités. On en conclut que pour diminuer cette différence de 18 unités, c'està-dire pour la rendre nulle, il aurait fallu augmenter le nombre des pièces de 5 francs du nombre dont le rapport à 3 est égal au rapport de 18 à 9. Le nombre en question est 6; par conséquent on résout le problème proposé en prenant 10 pièces de 5 francs et i3 pièces de 2 francs, résilltat facile à vérifier.
La méthode que nous venons d'exposer est connue sous le nom de méthode de fausse position ; on voit qu'elle ne conduit en général à un résultat rigoureusement exact que si les variations du nombre inconnu sont proportionnelles aux variations de la différence des nombres dont l'égalité est la condition du problème. Il ne faut pas croire cependant que la méthode dç
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fausse position soit nécessairement restreinte au seul cas dont nous venons de parler; elle peut être appliquée avec avantage comme méthode d* approximation dans un très-grand nombre de questions. Lorsqu'on effet les deux hypothè^ses successives que Ton aura faites sur la valeur du nombre demandé ne s'écar- Yeront pas beaucoup de la valeur réelle, la méthode de fausse position donnera en général une valeur plus approchée, et en poursuivant, s'il est nécessaire, l'application de la même méthode, on pourra calculer le nombre inconnu avec une approximation aussi grande qu'on le voudra; mais ce n'est pas ici le lieu d'entrer à ce sujet dans des détails qui sont essentiellement du ressort dé l'algèbre.
