CHAPITRE lY

DIVISION

DE LA OmSION.

38* La dwision est une opération qui a pour but de trouver combien de fois un nombre donné contient un autre nombre donné.

Le premier nombre domié se nomme àiaidende^ le second se nomme diviseur et le nombre cherché est appelé quotient. On indique la division au moyen du signe : qui s'énonce divisé par. Ainsi 8 : 4 exprime le quotient de la division de 8 par 4*

39. La division peut se faire par la soustraction. Veut-on^ par exemple^ diviser i4 par 4» on retranchera 4 de i4» ce qui donnera le reste lo; on retranchera de même 4 ^^ 'o» ce qui donnera le reste 6; on retranchera encore 4 de 6, ce qui donnera le reste 2 inférieur à 4« On voit que du dividende i4 on peut retrancher successivement trois fois le diviseur 4 et qu'on obtient un dernier reste 2 inférieur à 4 ; par conséquent, S est le quotient de la division de 14 par 4*

Ce procédé, qui conduit aisément au résultat dans l'exemple que nous avons choisi, serait le plus souvent impraticable; mais en le modifiant convenablement, nous en déduirons une règle facile pour effectuer la division de deux nombres quelconques.

40. D'après la définition du n*" 38, la différence entre le dividende et le produit du diviseur par le quotient doit être inférieure au diviseur. Cette différence peut être nulle ou zéro et alors on dit que la division se fait exactement. Dans tous les cas, la différence dont nous parlons est appelée reste de la division.

II résulte de là que :

Dans toute division qui se fait exactement, le dividende est égal au produit du diviseur par le quotient.

Dans toute division qui ne se fait pas exactement, le dividende est égal au produit du diviseur par le quotient, plus le reste.

a6 CttAMTlS IV.

Nous avons vu (n« 31) que le produit de deux nombres ne change pas, quand on prend le multiplicande pour multipUcaleur, et inversement. Il en résulte que, dbns toute division qui se fait exactement, on peut considérer le dividende comme la somme d'autant de parties égales au quotient qu'il y a d'unités dans le diviseur. Par conséquent, on peut dire que, dans ce cas particulier, la division a pour but de partager un nombre donné en autant de parties effiles qitU y a d'unités dans un autre nombre donné. C'est même en se plaçant à ce point de vue que l'on a adopté les dénominations de dividende et de diviseur,

CAS PARTIGULIEà OU LE Q90Ti£llT N'A QVUN CHIFFRE.

4-1. On reconnaît que le quotient d'une division n^a qu'un seul chiffre, lorsqu'on écrivant un zéro à la droite du diviseur, on forme un nombre plus grand que le dividende; car, dans ce cas, le dividende ne contient pas le diviseur lo fois.

Supposons d'abord que le diviseur n'ait qu'un seul chiffre; il est évident que le dividende ne peut en avoir plus de deux. Dans ce cas, on obtient le. quotient à l'aide de la Table de mul^lipUcation, Soit, par exemple, à diviser Sg par 8. Le plus grand des nombres de la huitième colonne verticale de la Table de multiplication contenus dans Sg étant 56, qui est le produit de S par 7, on en conclut que le quotient de la division de % par 8 est 7. Quant au reste de celte division, il est égal à l'excès de 59 SUA, 56, c'est-à-dire égal à 3. Sachant par cœur la Table de multiplication, on fait immédiatement les divisions de cette espèce.

42. Supposons maintenant que le diviseur ait plusieurs chiffres. Dans ce cas, on détermine le chiffre du quotient par tâtonnements comme nous allons l'expliquer :

Soit, par exemple, à diviser 5905 par 859. Le diviseur étant plus grand que 8 centaines, le quotient est égal ou inférieur au plus grand nombre de fois que le dividende 5908 contient 8 centaines; pour connaître ce dernier nombre, il sufQt de retrancher autant de fois que possible 8 centaines de 5905 ou, ce qui revient au même, 8 centaines de 59 centaines, ou enfin 8 de 59. Le quotient cherché est donc égal ou inférieur au quotient de 59 par 8, c'est-à-dire égal ou inférieur 37.

On commence par essayer le chiffre 7. A cet effet, on multiplie le diviseur par 7, et, comme le produit 601 3 est plus grand que le dividende, on voit que 7 est un chiffre trop fort. On

essi^e de même le chiffre 6; le produit du diviseur par 6 est 5i54> nombre inférieur au dividende; donc le quotient cherché est 6. Le reste de la division s'obtient en retranchant 5f 5^ de 5906; ce reste est 751 • On est ainsi conduit à la règle suivante :

Pour faire la dwhion de deux nombres dans le cas où le quotient ne doit avoir qu'un seul chiffre, on divise par le premier chiffre à gauche du diviseur les unités du même ordre contenues dans le dividende. On obtient ainsi le chiffre du quotient ou un chiffre trop fort. On multiplie le diviseur par le chiffre obtenu et, si le produit peut être soustrait du dividende 9 le chiffre est exact; sinon on essajre de la même manière le chiffre précédent ^ et ainsi de suite.

43. On dispose habituellement l'opération de la manière suivante :

SgoS I 859 5i54 |"6~

^ Le diviseur écrit à la droite du dividende est séparé de celui-ci par un trait vertical ; on tire un trait horizontal au-dessous du dîviseuret Ton écrit, au^lessous de ce trait, le chiffre exact du quotient quand il a été trouvé; au-dessous du dividende, est écrit le produit du diviseur par le quotient, puis Texcès du dividende sur ce produit, excès qui est le reste de la division. Souvent on se dispense d'écrire le produit du diviseur par le quotient. Alors, pour avoir le reste, on retranche successivement les produits du quotient par les unités, les dizaines, les centaines, etc., du diviseur, des unités de même ordre du dividende, à mesure que ces produits sont formés. Pour rendre toutes ces soustractions possibles, on fait usage, quand cela est nécessaire, du principe du n" 17, sur lequel repose la règle de la soustraction. D'après ce principe, on ajoute à chaque chiffre du dividende le nombre de dizaines nécessaire et sufQsant pour rendre la soustractîçn correspondante possible, et Ton a soin d'ajouter un pareil nombre d*unités au produit à retrancher dans la soustraction suivante.

L'opération est alors disposée comme il suit :

a8 GHAPITIIB lY.

ei l'on dil : 6 fois 9 54, de 55 reste i et retiens 5; 6/0/5 5 3o et 5 35, de 40 reste 5 et retiens 4 ; 6 fois 8 48 e/ 4 52, de 5^ reste 7.

Remarque. — En adoptant celle manière d'opérer on peut faire l'essai d'un chiffre sans rien écrire. Ces essais se font à vue dans la pratique ; il suffit le plus souvent de multiplier les deux premiers chiffres à gauche du diviseur par le chiffre essayé et de comparer le résultat avec les unités de même ordre contenues dans le dividende.

CAS 6ËN£RAL DE LA DIVISIOR.

4.4.. Supposons qu'il s'agisse de diviser 590549 par 859, Oo dispose l'opération comme il suit :

Si l'on multiplie le diviseur successivement par 10, .100, 1000, on obtient les produits 8590, 85900, 859000; le divi^ dende est supérieur au deuxième produit, mais il est inférieur au troisième, donc le quotient cherché est plus grand que 100 et plus petit que 1000; par conséquent ses plus hautes unités sont des centaines. Cela posé, il est évident que pour avoir le nombre des centaines du quotient, il suffit de retrancher du dividende 590549 autant de fois 859 centaines qu'il sera possible de le faire. Autant de fois la soustraction pourra être effectuée, autant de centaines on devra poser au quotient. Or, comme le dividende contient 59o5 centaines, on est ramené à soustraire 859 de 5905 autant de fois qu'il sera possible de le faire, ou, en d'autres termes, à diviser 5905 par 859. On effectue celte division, d'après la règle du n^ 42; on trouve ainsi le quotient 6 et le reste 751, et l'on voit que si l'on abaisse le chiffre des dizaines et le chiffre des unités du dividende proposé pour les écrire à la droite du reste 751, le nombre 75i49 qu'on formera ainsi sera l'excès du dividende sur le produit du diviseur par 6 centaines. On est ainsi ramené à chercher combien de fois 75i49 contient encore le diviseur 859, c'est-à-dire

mvifiion. ap

à diviser 75i49 par SSg. Le quotient de cette nouvelle division se compose des dizaines et des unités du quotient des nom-bres proposés; il a donc au plus deux chiffres et Ton déterminera successivement ces deux chiffres par le procédé que nous venons d'exposer.

Ainsiy pour avoir le chiffre des dizaines du quotient, il suffira de retrancher du nouveau dividende 7^149 autant de fois 859 dizaines qu'il sera possible de le faire, ce qui conduit à diviser 75i4 par 859. En appliquant à ces nombres la règle du n® fâ, on trouve pour quotient 8 et pour reste 642 ; le chiffre 8 est celui des dizaines du quotient cherché, et l'on voit que si Ton abaisse le chiffre des unités du dividende pour l'écrire à la droite du reste 642, le nombre 6429 qu'on formera ainsi serti l'excès du dividende 76149 sur le produit du diviseur par 8 dizaine^; en sorte que la question est ramenée à la division de 6429 par 859. Le quotient de cette nouvelle division ne peut avoir qu'un seul chiffre ; en appliquant de nouveau la règle du n* k% on trouve pour quotient 7 et pour reste 4^6; le chiffre 7 est celui des unités du quotient des nombres proposés; 4 16 est te reste de la division.

On nomme dividendes partiels les nombres qu'on divise successivement par le diviseur pour obtenir les différents chiffres du quotient. Dans notre exemple les dividendes partiels sont 5906, 75 14» 6429.

On se borne le plus souvent à écrire au-dessous du dividende proposé les différents dividendes partiels à partir du deuxième; les divisions partielles sont alors exécutées comme on l'a indiqué à la fin du n® M, et l'opération se trouve disposée comme il suit :

A5. Ce qui précède conduit à la règle suivante :

Pour faire la division de deux nombres, dans le cas où le quotient a plusieurs chiffres, on écrit le diviseur à droite du dividende, en les séparant par un trait vertical. On tire un trait horizontal au-dessous du diviseur et Von écrit au-dessous du trait les chiffres du quotient à mesure qu'ils sont trouvés.

On sépare, sur la gauche du dividende, assez de chiffres

3o CUAPITBS iV.

paur que le nombre qu'ils expriment contienne au moins une fois le diviseur^ mais ne le contienne pas dix fois. Ce nombre est le premier dividende partiel et le dernier de ses chiffres exprima, dans le dividende proposé, des unités de même ordre que le premier chiffre du quotient. On divise le premier di-vidende partiel par le diviseur; le quotient obtenu est le premier chiffre du quotient cherché.

On abaisse, pour l'écrire à la droite du reste de cette prc'-mière diifision, le chiffre du dividende proposé qui exprime des unités de même ordre que le deuxième chiffre du quotient; on forme ainsi le deuxième dividende partiel; on le divise par le diviseur et le quotient obtenu est le deuxième chiffre du quotient cherché.

On continue ainsi jusqu'à ce que tous les chiffres du divi-dende proposé aient été abaissés. ^

Remarque I. — Puisque chaque reste est moindre que le diviseur, chaque dividende partiel est moindre que dix fois le diviseur. Mais il peut arriver qu'un dividende partiel ne contienne pas le diviseur; alors le chiffre correspondant du quotient cherché est o et Ton forme le dividende* partiel suivam en abaissant à la droite du précédent un nouveau chiffre du dividende.

Remarque II. — Le nombre des chiffres du quotient est égal à Texcès du nombre des chiffres du dividende sur le nombre des chiffres du diviseur, ou à cet excès augmenté d'une unité.

46. Lorsque le diviseur n'a qu'un seul chiffre, on se dispense, le plus souvent, d'écrire le^ dividendes partiels. Supposons, par exemple, qu'on veuille diviser £^4802 par 7, On dispose l'opération comme il suit :

54802 I 7 6 \^ÏÏ2S

et l'on opère en disant :

En 54 combien de fois 7 ? 7 fois, 7 fois 7 . . . 49 ^-^ 54 reste S ; En 58 combien de fois 7? 8 fois, S fois 7 . . 56 de 56 reste 2; En 20 combien de fois 7? 2 fois, 2 fois 7 . . i^de 20 reste 6; En 62 combien de fois 7? 8 fois, 8 fois 7 . . 56 ^1? 62 reste 6; j'écris 6 au reste.