CHAPITRE V

Comme 3 est un diviseur de 9, on peut dire aussi que i Tout nombre est égal à un multiple de 3 augmenté de fa soàime de ses chiffres.

De ce qui précède on conclut que :

i« Le reste de la division d'un nombre par g ou par 3 est le même que le reste de la division de la somme de ses chiffres par 9 ou par 3.

!2? Pour qu'un nombre soit divisible par g ou par Z, il faut et il suffit que la somme de ses chiffres soit divisible par 9 ou par 3.

Remarque, — Dans la pratique» quand on fait la somme des chiffres d'un nombre pour avoir le reste de la division de ce nombre par 9, on supprime 9 chaque fois que cela est possible. Soit, par exemple, le nombre 74862, on dira : 7 et 4« • • n ; a et 8. . . 10; I et 5. . . 6 eta, . . 8; 8 est le reste de la division de 74852 par 9.

RESTES DE LA DIVISION D'UN [NOHBRE PAR il. CONDITION DE DIVISIBIUTË PAR il.

56. Je dis en premier lieu que Funité suivie d'un ou de plusieurs zéros est un multiple de 1 1 augmenté de i si le nombre des zéros est pair, et diminué de 1 si le nombre des zéros est impair. En effet, si l'on effectue la division par 1 1 du nombre 10000. . .,

lOOOO. . . I II

il est évident que les restes seront alternativement i et 10; le dernier de ces restes sera égal à i, si le nombre des zéros du dividende est pair, et égal à 10 si le nombre des zéros est impair. Dans le premier cas, le dividende est égal à un multiple de 1 1 augmenté de i ; dans le second cas il est un multiple de II diminué de i.

Il résulte de là que tout chiffre significatif suivi d'un ou de plusieurs zéros est égal à un multiple de 1 1, augmenté ou diminué de ce cMffre, suivant que le nombre des zéros est pair ou impair. Considérons, en effet, les nombres ^00 et 7000. Gomme 100 est un multiple de 1 1 plus x, 700 sera égal à 7 fois un multiple de II plus 7 fois i, c'est-à-dire égal à un multiple de 11

mvisiuLnlE. 3']

plus 7. PaureUlemem 1000 éunt égal à un multiple de 1 1 moins 1 , 7000 sera égal à 7 fois un multiple de 1 1 moins 7 fois r, c'est-àdire égal à un multiple de 1 1 moins 7.

On peut conclure de ce qui précède la propriété suivante : Tout nombre est égal à un multiple de 1 1 augmenté de la somme de ses chiffres de rang impair à partir de la droite et diminué de la somme de ses chiffres de rang pair.

Soit le nombre 74852, égal à 70000 •+• 4®oo -h 800 -h 60 -h 2 ; d'après ce qu'on vient de voir,

70000 est un multiple de 11 -4- 7,

4000 est un multiple de 1 1 — 4f

800 est un multiple de 1 1 -i- 8,

5o est un multiple de 1 1 — 5,

donc

74852 est un multiple de 11 + 74-8-1-2 — 4 — 5,

ce qui démontre la proposition énoncée.

Il résulte de la que :

Le reste de la division d'un nombre par 1 1 est le même que le reste de là division par 1 1 de l'excès de la somme des chiffres de rang impair, à partir de la droite, sur la somme des chiffres de rang pair.

Il faut observer que, si la somme des chiffres de rang impair est inférieure à la somme des chiffres de rang pair, on devra augmenter la première somme ou diminuer la seconde d'un multiple convenable de 11, aGn de rendre la soustraction pos^ sible. Supposons par exemple qu'il s'agisse du nombre 728192; la somme des chiffres de rang impair est 2 -1- 1 -h 2 ou 5, la somme des chiffres de rang pair est 9 + 8 4- 7 ou 24. En retranchant 22 de cette dernière somme, il reste 2; le reste de la division de 728192 par 1 1 est donc 5 — 2 ou 3,

On voit aussi que :

Pour qu'un nombre soit divisible par 11, il faut et il suffit que la somme des chiffres de rang impair soit égale à la somme des chiffres de rang pair, au que la différence de ces deua: sommes soit divisible par 1 1 .

FREUVES PAR 9 OU PAR il DE LA MULTIPLICATION ET DE LA

DIVISION

57 Le reste de la division d'un nombre par 9 ou par 1 1 peut^

38 CH^JRITBE T.

comme on vient de le voir, être déterminé très-rapidemem. On a déduit de cette propriété un moyen très-simple de faire la preuve de la multiplication et de la division.

Multiplication. — Supposons qu'on ait eu à multiplier 2096 par 347 et qu'on ait trouvé pour produit 727812 (n*» 26).

Le reste de la division par 9 d'un produit de deux facteurs ne change pas (n° 53) si l'on retranche du multiplicande ua multiple de 9; il en est de même si l'on retranche du multiplicateur un multiple de 9, car on peut intervertir l'ordre des facteurs du produit. Or les restes des facteurs 2096 et 347 par 9 $ont8 et 5 respectivement; donc en divisant par 9 les deux produits 2096 X 347 et 8 X 5, on obtiendra des restes égaux; en d'autres termes, ces produits ne diffèrent que par un multiple de 9. D'un autre côté, le reste de la division de 727812 par 9 est 4 ; si donc 727812 est effectivement le produit de 2096 par 347, les nombres 4 et 8 x 5 ou 4o ne doivent différer que par un multiple de 9. La différence 40 — 4 ou 36 étant un multiple de 9, la vérification a lieu.

Pe là résulte la règle suivante :

Pour faire la preuve par 9 de la multiplication, on fait le produit des restes de la division par g des facteurs donnés, et si le résultat est égal au reste de la division par 9 du produit obtenu ou n'en diffère que par un multiple de 9, on a une vérification du premier calcul.

Division. — Supposons qu'ayant eu à diviser 690549 par SSg on ait trouvé pour quotient 687 et pour reste 4^6 (n** 44).

Les restes de la division par 9 des nombres 889 et 687 étant

4 et 3, le produit 859 X 687 ne diffère de 4 X 3 que par un multiple de 9, d'après ce qui a été dit plus haut, et comme 4*6 est un multiple de 9 plus 2, les sommes SSg X 687 -l-4'6 et 4x 3 ■+- 2 ne diffèrent que par un multiple de 9. Or, si la division proposée a été bien faite, 590549 est égal à 859X687 + 4*6, et, comme 590549 est un multiple de 9 plus 5, les nombres

5 et 4 X 3 -f- 2 ne peuvent différer que par un multiple de 9; la différence de ces nombres étant 9, la vérification a lieu.

De là résulte la règle suivante :

Pour faire la preuve par 9 de la division, on fait le produit des restes par g du diviseur et du quotient trouvé et l'on ajoute à ce produit le reste par 9 du reste trouvé, si Von en a obtenu un ; cela fait, si le résultat est égal au reste du dividende par 9 ou nen diffère que par un multiple de g, on a une vérification du prernier calcul.

DlVlSIBiUTÉ. 39

58. Tout ce que nous venons de dire à l'égard du diviseur 9 s'applique sans modification à tout autre diviseur et en particulier au diviseur II. Ainsi la preuve des opérations par 11 s'effectue de la même manière que la preuve par 9. De ce que la preuve par 9 ou par 1 1 d'une opération a réussi, on ne peut conclure avec certitude que le résultat obtenu est exact, mais on est en droit d'affirmer que l'erreur commise, s'il y en a une, est un multiple de 9 ou de 1 1 . Donc lorsque les deux preuves réussissent, l'erreur, si elle existe, doit être à la fois un multiple de 9 et de II.

QUESTIONS PROPOSÉES

I. Démontrer que si un nombre est divisible par 4» 1^ somme du chiffre des unités et du double du chiffre des dizaines est divisible par 4; et réciproquement.

II. Démontrer que si un nombre est divisible par 8, la somme du chiffre des unités, du double du chiffre des dizaines et du quadruple du chiffre des centaines est divisible par 8; et réciproquement.

III. Démontrer que si un nombre est divisible par 6, la somme du chiffre des unités et du quadruple de chacun des autres est divisible par 6; et réciproquement.

IV. Démontrer que les conditions de divisibilité des nombres par 999 et looi sont analogues aux conditions de divisibilité par 9 et II, et qu'elles n'en diffèrent qu'en ce que les tranches 4e trois chiffres qui expriment les diverses unités principales jouent ici le même rôle que les simples chiffres à l'égard des diviseurs 9 et 1 1 . Déduire de cette considération les conditions de divisibilité par 87 diviseur de 999, et par 7 et i3 diviseurs de 100 1,

V. Expliquer la manière de faire la preuve par 9 ou par 1 1 de l'addition et de la soustraction.

VI. Démontrer que si l'erreur commise dans la multiplication de deux nombres provient de ce que le premier chiffre à droite de l'un des produits partiels n'a pas été écrit, comme il convient, sous le deuxième chiffre à droite du produit partiel précédent, la preuve par 9 ne pourra indiquer l'erreur. Examiner si la preuve par 1 1 peut toujours mettre l'erreur en évi~ dence.