CHAPITRE VL

DES NOMBRES PREMIERS

DES NOMBRES PREMIERS

59. Un nombre est dit premier, lorsqu'il n'a d'autre diviseur que lui-même et l'unité.

La Table suivante renferme tous les nombres premiers Jusqu'à 1217.

TMe des nombres premiers jusqu'à 1217.

3ii

iio3

io3

ii3

ioi3

ii5i

a3ft

ii63

2kl

io3i

io33

io5i

4Qi

io63

La manière de former cette Table est très^-simple. On écrit tous les nombres depuis i jusqu'à 12 17 et l'on barre, comme nous allons l'indiquer, ceux qui résultent de la multiplication d'un nombre premier par un nombre quelconque autre que l'unité. Après cette suppression il ne restera que des nombres premiers, car up nombre qui n'est pas premier s^dmet divers diviseurs supéi:ieurs à l'unité, et le plus petit de ces diviseurs est évidemment un nombre premier.

Les trois prçqfiiers nombres de la suite i, 2, 3, 4> 5, 6. . . 1217 soiu premiers.. On commence par barrer les nombres de deux.

BES NOMBBBS PftBIllERS. ^t

en deux à partir de 2X 2 ou 4 ; on supprime ainsi les multiples de 2, et les nombres non barrés jusqu'à 3x3 exclusivement sont évidemment premiers. 3 étant le nombre premier qui vient après 2y on barre les nombres de trois en trois à partir de 3 x 3 ou 9; et, après cette deuxième opération, les nombres non barrés jusqu'à 5x5 sont premiers. On barre de même de cinq en cinq à partir de 5 X 5 ou 25 ; et, après cette troisième opération, les nombres non barrés jusqu'à 7X7 sont premiers; et ainsi de suite. Quand on aura barré de vingt-neuf en vingt-neuf, il faudra barrer de trente et un en trente et un à partir de 3 1 x 3 1 , car 3i est le nombre premier immédiatement supérieur à 29. Ici l'on n'aura à barrer que le seul nombre 3ix3i ou 961 et l'opération sera terminée; car il faudrait barrer ensuite de trente-sept en trente-sept à partir de 37 X 37, nombre qui est supérieur à 1217.

60. On a construit depuis longtemps, par le procédé que nous venons d'indiquer, desTables dénombres premiers. Celles deBurckhardt, qui sont les plus répandues, s'étendent jusqu'à 3o36ooo. On voit, par l'inspection de ces Tables, qu'il y a 26 nombres premiers de i à 100, qu'il y en a 169 deià 1000; i23o de I à loooo; 9592 de i à looooo ; et 78493 de i à 1 000000. Ainsi le nombre des nombres premiers compris entre i et une certaine limite parait devoir croître indéfiniment en même temps que oette limite. Et, en effet, il est aisé d'établir cette proposition importante que la suite des nombres premiers est illimitée A\ suffit évidemment pour cela de faire voir qu'il existe un nombre premier plus grand qu'un nombre premier donné. Supposons, pour fixer les idées, que le nombre premier donné soit le dernier de ceux contenus dans notre Table, c'est-à-dire 1217. Formons le produit de tous les nombres premiers de celte Table et ajoutons l'unité à ce produit; le résultat obtenu sera

H-iX2X3x5X7X... X1217,

et il arrivera de deux choses l'une : ou bien ce résultat sera un nombre premier, ou bien il ne sera pas premier. Si le premier cas a lieu, notre proposition est établie, il existe bien un nombre premier supérieur à 1217. Si c'est le second cas qui alieu, le plus petit des diviseurs autres que i du nombre que nous avons formé, est un nombre premier; or ce nombre premier ne peut être contenu dans notre Table, car s'il s'y trouvait, il diviserait le produit ix 2X3x ... X 1217 et par consé-

1\% €BAPITBE VI.

quent il ne pourrait diviser le même produit augmenté de i. D'où il résulte quUl existe nécessairement un nombre premier supérieur à 121 7.

61. Pour savoir si un nombre est premier ou non premier» il suffît de le diviser successivement par les nombres premiers moindres que lui. Si aucune de ces divisions ne se fait exactement, le nombre est premier. Il faut remarquer que l'on doit arrêter les opérations, lorsque dans l'une des divisions qu'on exécute on a obtenu un quotient inférieur au diviseur. Considérons, par exemple, le nombre 1237; on reconnaît que ce nombre n'est divisible par aucun des nombres premiers 2, 3, 5,.., 37; d'ailleurs la division de 1237 par 37 donne le quotient 33 avec un reste. On conclut de là que 1237 est un nombre premier; car si Ton pouvait faire exactement la division de 1237 par un nombre premier plus grand que 37, le quotient de cette division serait aussi un diviseur de 1237 et il serait moindre que 33 : par conséquent 1237 aurait un diviseur premier moindre que 37, ce qui n'a pas lieu.

62. Plusieurs nombres sont dits premiers entre eux lorsqu'ils n'ont d'autre commun diviseur que l'unité.

Pour reconnaître si des nombres sont ou ne sont pas premiers entre eux, Il faut déterminer le plus grand commun diviseur de ces nombres; nous allons nous occuper de cette cherche Importante en nous bornant Ici au cas de deux nombres.