RECHERCHE DU PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR DE DEUX NOMBRES

63. Proposons-nous de déterminer le plus grand commun diviseur des nombres 852 et 192.

Le plus grand commun diviseur de 852 et de 192 ne peut surpasser 192, puisqu'il doit le diviser. Si donc 192 divise 852, comme il se divise lui-même. Il sera le plus grand commun diviseur cherché; nous sommes ainsi conduits à faire la division des nombres 852 et 192. Cette division ne se fait pas exactement, on trouve 4 pour quotient et 84 pour reste. On conclut de là que 192 n'est pas le plus grand diviseur demandé ; mais la division que nous venons d'exécuter n'en est pas moins utile pour notre objet. Je dis effectivement que le plus grand commun diviseur des nombres 852 et 192 est le même que le plus grand commun diviseur de 192 et84, nombres qui sont respectivement moindres que les proposés. £n effet, tout nombre qui divise 852 et 192 divise 192 X 4; divisant 852 cl 192 X 4> H di-

DBS NOMBRES RREMIERS. 4^

vise leur différence 84 : ce nombre est donc un commun diviseur des nombres 192 et 84* Réciproquement, tout commun diviseur des nombres 192 et 84, divise 192x4; divisant 192x4 et 84, il divise leur somme 852 : ce nombre est donc un commun diviseur de 852 et de 192. Il résulte de là que les nombres 852 et 19^ ont les mêmes communs diviseurs que 192 et 84; donc, en particulier, le plus grand commun diviseur des nombres 852 et 192 est égal au plus grand diviseur des nombres 192 et 84.

Nous opérerons sur les nombres 192 et 84 de la même manière que sur les nombres proposés. En divisant 192 par 84, on trouve pour quotient 2 et pour reste 24; on en conclut, par un raisonnement identique à celui qui vient d'être fait, que le plus grand coounun diviseur cherché est égal au plus grand commun diviseur de 84 et 24. Divisant de même 84 par 24, nous trouvons pour quotient 3 et pour reste 12 :, d'où nous concluons que le plus grand commim diviseur cherché est égal au plus grand commun diviseur des nombres 24 et 12. Enfin, comme en divisant 24 par 12, nous trouvons pour quotient 2 et pour reste o, nous concluons que le plus grand commun diviseur cherché est 12.

On dispose habituellement l'opération comme il suit :

On voit que chaque division se trouve disposée à la manière ordinaire, avec cette seule différence que le quotient est placé au-dessus du diviseur au lieu d'être au-dessous.

64. On peut, d'après ce qui précède, énoncer la règle suivante :

Pour avoir le plus grand commun diviseur de deux nombres y^ on divise le plus grand par le plus petit ; si le reste de cette division est nul, le plus petit nombre est le plus grand commun di-viseur cherché. Dans le cas contraire, on divise le plus petit nombre par ce premier reste et Von obtient ainsi un deuxième reste; si ce deuxième reste est nul, le premier reste est le plus grand commun diviseur cherché. Dans le cas contraire, on divise le premier reste par le deuxième, et Ton continue de même jusqu'à ce qu'on trouve un reste nul : le reste qui précède celui-là est le plus grand commun diviseur cherché.

44 CHAPITBË VI.

Remarque, — En appliquant la règle précédente, on ne petfl manquer d'arriver à un reste nul ; car les restes allant en décroissant, leur nombre est nécessairement limité.

65. Tout commun diviseur de deux nombres divise leur plus grand commun diviseur*

Par exemple, tout commun diviseur des nombres 852 et 192 divise le reste 84 de leur division, ainsi qu'on Ta vu plus haut ; de même, divisant 192 et 84, il divise le reste 24 de leur division. Pareillement, divisant 84 et 24, il divise le reste 12 de leur division, c'est-à-dire le plus grand commun diviseur de 852 et 192.

66. Lorsqu'on multiplie deux nombres par un troisième, leur plus grand commun diviseur est multiplié par ce troisième nombre.

Je dis d'abord que si l'on multiplie deux nombres, 852 et 192, par un troisième nombre 9, le reste de la division des deux premiers nombres sera multiplié par 9. En effet, en divisant 852 par 192, on trouve pour quotient 4 et pour reste 84 ; il en résulte que 852 unités contiennent 4 fois 192 unités, avec un reste égal à 84 unités. Mais ici le mot unité désigne un objet quelconque; on peut donc dire que 852 collections de 9 unités contiennent quatre fois 192 collections de 9 unités avec un reste égal à 84 collections de 9 unités. Donc, si l'on divise 852 X 9 par 192 x 9, on trouvera pour quotient 4 et pour reste

Il résulte de là que si l'on multiplie par 9 les nombres 852 et 192, les restes 84, 24, 12, auxquels conduit la recherche du plus grand commun diviseur de ces nombres, se trouveront multipliés par 9; or le dernier de ces restes est le plus grand commun diviseur de 852 et 192 : la propriété énoncée est donc démontrée.