résulte de là que

Une fraction dont les deux termes sont premiers entre eux est irréductible.

Car, d'après ce qui précède, toute fraction égale à une fraction dont les deux termes sont premiers entre eux a des termes respectivement plus grands que ceux de cette fraction.

Réciproquement, les deux termes d'une fraction irréductible sont premiers entre eux.

Car, si les deux termes d'une fraction ne sont pas premiers entre eux, en les divisant Tun et Tautre par leur plus grand commun diviseur, on n'altère pas la valeur de la fraclion (n®82), et celle-ci se trouve ainsi réduite à une expression plus simple.

On voit par là que : Pour réduire une fraction à sa plus simple expression, il suffit de chercher le plus grand commun diviseur de ses deux termes, et de les diviser l'un et l'autre par ce plus grand commun diviseur.

Car, en opérant ainsi, on forme une fraction égale à la proposée, et qui est irréductible, puisque ses deux termes sont premiers entre eux (n° 76).

Exemple. — Soit la fraction ^-jr : le plus grand commun di-

viseur de aSa et 396 est 36; en divisant 262 et 396 par 36, on

trouve les quotients 7 et 11, la fraction proposée est donc

égale à -2- •

Remarque I. — Quelquefois, dans la pratique, on réduit une fraction à sa plus simple expression en supprimant successivement, au numérateur et au dénominateur, les facteurs communs que Ton aperçoit; et quand, après cette suppression, les deux termes sont premiers entre eux, la fraction se trouve

58 CBAMTBE VII.

réduite à sa plus simple expression. Soit, par exempte, la fraclion ^ 5 en supprimant le facteur a commun a ses deux termes, elle devient — s* Les deux termes de celle-ci sont encore

divisibles par 2, et, en supprimant ce facteur, on obtient — •

Enfin, les deux termes de cette dernière sont divisibles par 9,

et en effectuant la division on trouve — • Comme 7 et 1 1 sont

premiers entre eux, la fraction proposée se trouve réduite à sa plus simple expression.

Remarque IL — Quand on réduit à sa plus simple expression une fraction dont le numérateur est un multiple du dénominateur, le dénominateur se trouve réduit àTunitéet il est

inutile de l'écrire. Par exemple, la fraction — se réduit à -

ou simplement à 4 (n» 79, Remarque). On verra dans le chapitre suivant que Ton est naturellement conduit par des considérations nouvelles à regarder un nombre entier comme, fraction dont le dénominateur est i.