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excès de travail, en leur enlevant tout loisir, et en s'exposant à altérer leur santé, on n'arriverait pas même à former leur style, puisqu*on ne ferait que leur donner l'habitude d'une rédaction facile, mais négligée. Mieux vaut leur demander, de temps à autre, sur quelques parties des cours, des rédactions soignées, dans lesquelles la préeision du langage scientilique et les règles de la grammaire soient sévèrement observées.

Après ces observations générales, qui s'appliquent on partie à Tensemble des cours de mathématiques, il est bon d'arrêter l'attention de MM. les Professeurs sur quelques points particuliers du cours d'arithmétique.

En commençant le programme du cours par ces mots « numération décimale, » on a voulu éviter les questions sur la numération duodécimale^ qu'on rencontre dans plusieurs ouvrages; il est plus utile d'exercer les élèves sur le système usuel, qui ne leur devient pas toujours aisément familier, que sur un système qu'ils n'auront jamais à appliquer.

La seule vérification pratique de l'addition et de la multiplication est de recommencer ces opérations dans un autre ordre.

Si la division des nombres entiers est, en arithmétique, la première quiestîon qui soit, bien à tort sans doute, réputée d'une sérieuse difficulté, cela tient à une inutile complication des méthodes. Sans imposer aux professeurs tel ou tel mode de démonstration, on leur recommande une plus grande simplicité; ils doivent faire en sorte que la démonstration procède suivant la même marche que la règle pratique; ils trouveront aisément plusieurs manières d'y parvenir, telles (fue la suivante :

Supposons qu'on ait à chercher combien de fois le nombre 64763 contient le nombre 18. On sait qu'on arriverait au résultat en retranchant 18 de 64763 successivement autant de fois qu'il serait possible de le faire. L'opération serait ainsi fort longue; on parviendra à l'abréger en commençant par retrancher de 64763, non pUis 18, mais bien 18000. Autant de fois la soustraction pourra être efïectuée, au-tant d'unités de mille on devra poser au quotient. Or, il est clair qu'on est ainsi conduit, pour trouver le chifl^ des mille du quotient, à diviser le nombre 64 des mille du dividende par le diviseur 18. Ce point étant établi, tout le reste de l'opération se présente avec la même simplicité, et s'explique par le même raisonnement.

La théorie du plus grand commun diviseur n'a nullement besoin d'être donnée avec tous les détails dont on l'entourait et qui pe sont d'aucun usage dans la pratique. Le programme du cours porte expressément qu'on se bornera à la considération du plus grand corn-

mun diviseur de €Ù:ux nombres. C'est qu'effectivement cette recherche n-a été maintenue que dans le but de faciliter la démonstration de la proposition suivante : « Tout nombre qai divise un produit de deux facteurs et qui est premier avec Tun des facteurs, divise Tautre. »

C'est surfout à la pratique du calcul des nombres décimaux qu'il est indispensable d'exercer les élèves, puisque, la plupart du temps, ils auront à opérer sur de tels nombres. Il est rare que les données d'une question soient des nombres envers ; o^ sont habituellement des nombres décimaux qui ne sont même pas connus rigoureusement, mais seulement avec une approximation décimale donnée; et l'on a pour but d'en déduire d'autres nombres décimaux^ exacts euxmêmes, jusqu'à une certaine approximation fixée par les conditions du problème.

Considérons, comme exemple, la multiplication. On ne donne souvent d'autre précepte que de multiplier les deux facteurs l'un par l'autre, sans tenir compte de la virgule, sauf à séparer sur la droite du produit autant de chiffres décimaux qu'il y en a dans les deux facteurs. La règle ainsi énoncée est méthodique, simple et facile en apparence; mais, au fond, elle est, dans la pratique, d'une longueur rebutante ; souvent elle est inapplicable.

Admettons qu'on ait à multiplier l'un par l'autre deux nombres ayant chacun six décimales, et qu'on veuille connaître également le produit jusqu'à la sixième décimale; la règle précédente en donnera douze, dont les six dernières, étant inutiles, auront fait perdre par leur calcul un temps précieux. De plus, lorsqu'un facteur d'un produit est connu avec six décimales, c'est qu'on s'est arrêté dans sa détermination à cette approximation^ en négligeant les décimales sui^ vantes : plusieurs des décimales situées à la droite du produit calculé ne seront donc pas celles qui appartiendraient au produit rigoureux. A quoi sert-il d'avoir pris la peine de les déterminer?

Remarquez enfin que si les facteurs du produit sont incommensurables, et si l'on doit les convertir en décimales avant d'effectuer la multiplication, on ne saurait point jusqu'où doit être poussée Tapproximation des facteurs, avant d'appliquer la règle précédente» Il sera donc nécessaire d'enseigner aux élèves les méthodes abrégées par lesquelles on arrive simultanément à poser moins de chiffres et à fixer l'approximation réelle du résultat auquel on est parvenu.

Depuis qu'on a reconnu la nécessité de l'introduction des méthodes d'approximation dans l'enseignement, plusieurs ouvrages, traités ou brochures, ont été publiés au sujet de ces méthodes. Malheureusement, la question a été trop souvent prise à un point de vue tel, que loin de amplifier la marche des calculs, on l'a compliquée. Plusieurs

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attteursy envisageMit le problème sous le rapport d'une entière ri> gueur, ont prétendu tenir compte non-seulement de la première puissance des erreurs, mais de leurs carrés et de leurs produits : ne prenant pas garde qu^à la condition proposée d'obtenir le résultat cherché à un« certaine approximation donnée, ils ajoutaient implicitement cette autre condition d'estimer Terreur elle-même avec autant de ehifjfres que le résultat principal.

Le premier principe des approximations numériques est de ne tenir compte que des premières puissances des erreurs. Ce qui permet d'énoncer cette proposition fondamentale, que dans un produit de plusieurs facteurs Terreur reladve du produit est égale à la somme des erreurs relatives des facteurs : d'où Ton déduit immédiatement que Terreur relative d'un quotient est égale à la différence des erreurs relatives des facteurs; que Terreur relative du carré d'un nombre est double de Terreur relative de ce nombre ; que Terreur relative de la racine carrée d'un nombre est la moitié de Terreur relative du carré.

Ces propositions permettent toujours d'estimer avec facilité le degré d'exactitude avec lequel il faut calculer des nombres, engages dans une suite d'opérations numériques et qu'on ne peut obtenir que par approximation, si Ton veut que le résultat définitif ait une exactitude demandée. Lorsqu'un certain nombre d'erreurs doivent être ainsi commises avant d'arriver au résultat, il faut se garder d'enseigner aux élèves qu'on en doit discuter la valeur, le signe, afin d'être autorisé à commettre la plus grande erreur possible, dans chaque facteur, san« * que cependant le résultat final soit entaché d'une erreur plus considérable que celle qu'on veut tolérer ; on les jetterait ainsi dans une roule pénible, la plupart du temps impraticable et propre à rebuter les plus intrépides. Il est beaucoup plus simple, si dix erreurs doivent être successivement commises avant d'arriver à un résultat, de pous ser les approximations jusqu'à une unité décimale plus élevée d'un ou de deux rangs, et d'éviter toute discussion en rendant ainsi la somme des erreurs certainement négligeable.

Lés fraction^ décimales périodiques n'ont guère d'applications. Si Ton a moins conservé la recherche de la fraction ordinaire génératrice d'une fraction décimale périodique, simple ou mixte, il est entendu qu'en dehors de ces deux questions élémentaires, il n'en doit être traité aucune autre.

On se bornera à l'égard de la racine cubique à une indication som- ' maire de la marche à suivre. Le seul but qu'on puisse se proposer ici est de donner aux élèves une idée de la généralisation des méthodes d'extraction des racines. L'extraction directe do la racine cubique

n'est pas une opération pratique : c*est par les logarithm<»s que cette extraction doit en réalité être effectuée.

Lorsqu'il n'entre dans une question que des quantités qui varient dans le même rapport ou dans un rapport inverse, on la résout par une méthode très-simple connue sous le nom de réduction à rmrtiié, LVnsemble des raisonnements par lesquels on arrive ainsi et pour la première fois à la solution d'nn problème, ne doit pas être repris sans cesse, et en son entier, à Toccasion de toutes les questions du même genre ; mais on posera une règle pratique et simple pour résoudre ces questions, en faisant remarquer que le résultat se compose toujours d'une quantité qui, parmi les données, est de la nature de celle qu'on cherche, et multipliée successivement par une suite de rapports abstraits entre d'autres quantités qui sont aussi, deux à deux, de même nature.

La solution de toutes les questions pouvant être présentée par la marche précédente d'une manière simple, rapide et claire, et l'emploi ultérieur des proportions n'ajoutant rien de nouveau aux notions acquises, l'enseignement des proportions est supprimé. Le professeur n'en fera désormais aucune mention. La terminologie que les proportions entraînaient avec elles doit également disparaître, et c'est pour ne laisser aucun doute à cet égard qu'une proposition d'arithmétique nécessaire en géométrie, qu'on démontrait et qu'on énonçait habituellement en se conformant à l'algorithme et au langage des proportions, a été énoncée dans le programme comme elle doit l'être désormais, savoir que, « dans une suite de rapports égaux, la somme des » numérateurs et celle des dénominateurs forment un rapport égal aux » premiers. »

Il est peut-être nécessaire d'ajouter que cette proposition n'a point été ptacée dans le programme d'arithmétique afin qu'on en (it usage pour h solution de la question énoncée à la 32* leçon, savoir le partage d'une somme en parties proportionnelles à des nombres donnés. Si l'on veut partager looo en trois parties proportionnelles à 3, 2 et 5, on aperçoit immédiatement qu'il faut le diviser en 3 -h ?. -h 5 = 10 parties égales, puis prendre successivement 3, 2 et 5 de ces parties. Cette explication n'a pas besoin d'autre commentaire, et on Tétend immédiatement au cas où les nombres donnés seraient fractionnaires.

L'emploi des Tables de logarithmes, pour l'abréviation des calculs, est placé à la fin du cours d'arithmétique et vers le milieu de l'aoncc^ *de troisième, dans un double but. L'expérience a montré que la théorie de ces o^^érations n'est saisie qu'avec difficulté par de jeunes intelligences, et que Tcmbarras qu'elles éprouvent s'accroît lorsqu'il faut à la fois graver dans son esprit la marche des opérations, leur'

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sens et leur portée. On remédie à cet inconvénient en commençant à faire acquérir aux élèves, sans démonstration, la pratique du calcul par logarithmes; en n'exposant la théorie elle-même, qui du reste a été renvoyée en seconde année, que lorsque les opérations sont devenues familières. Il est donc essentiel que le professeur, après avoir expliqué, dans le cours de troisième, Tusage pratique des logalithmes, ait soin d'en prescrire fréquemment l'emploi dans l'exécution des calculs réclamés pour la résolution complète des questions. C'est le seul moyen d'en faciliter l'usage aux élèves : en outre, en simplifiant les calculs, on économisera le temps qu'on peut y consacrer.

Est- il hesoin de dire qu'il ne doit point être fait mention des quantités négatives proprement dites? On peut toujours ramener les caractéristiques des logarithmes employés dans un calcul à des nombres positifs, Siuif à diviser le résultat final par une puissance convenable de lo, et c'est ainsi que le calcul des fractions, au moyen des logarithmes, doit être présenté. Si Ton veut, de plus, que le logarithme écrit fasse connaître la place de la virgule, rien n'est plus facile; on enseignera que de même que la caractéristique 2 indique que le nombre a trois chiffres significatifs avant la virgule, de même on est convenu que la caractéristique 2 indique que le premier chiffre significatif vient deux rangs après la virgule. Ce doit être pour les élèves une convention, rien de plus. On aura d'autant plus raison d'agir ainsi, que, même «lans la classe de seconde, lorsqu'on en viendra à l'enseignement de la théorie des logarithmes, on devra se garder de parler aux élèves de logarithmes entièrement négatifs, qui ne sont jamais d'aucun usage, mais introduire les caractéristiques négatives comme une conséquence de la convention qui sert à fixer le rang de la virgule.

On placera entre les mains des élèves les Tables de Lalande à cinq décimales. Les Tables à sept décimales, faussement attribuées à Lalande, doivent être rejetées d'une manière absolue. L'emploi des Tables de logarithmes a pour but de simplifier les calculs, et c'est ce qui serait loin d'avoir lieu au moyen des Tables auxquelles on conserverait la disposition adoptée par Lalande, et qu'on étendrait cependant à sept décimales, comme cet illustre astronome s'est gardé de le faire. Admettons qu'on veuille, par ces Tables à sept décimales, exé-; cuter le produit de deux nombres décimaux ayant chacun sept chiffres significatifs, et obtenir le résultat lui-même avec sept chiffres significatifs, exactitude que l'emploi de ces Tables doit avoir pour but d'atteindre, sans quoi l'introduction de la septième décimale n'aurait point de sens. Si l'on pratique l'opération de deux manières, par la voie ordinaire et abrégée d'abord, par les Tables logarithmiques ensuite, on reconnaît que la seconde marche est beaucoup plus longue

XIV PLAN 0^éTO0BS DES I^TcAbS IMPBUAUX.

que la première et exige deux ou trois fois plus de chiffres. La pre-

mière condition d'une Table de logarithmes est qu*on puisse y prendre à viœ\t% parties proportionnelles, et c*est ce qui est possible dans les Tables de Lalande à cinq décimales ; on n'obtient ainsi, il est vrai, des nombres exacts que jusqu'au quarante-millième de leur valeur, mais c'est une exactitude suffisante dans la pratique habituelle. Les angles eux-mêmes peuvent être obtenus, au moyen des Tables trigo* nométriques à cinq décimales, avec une exactitude de Z" à è^* sexagésimales, ce qui suffit dans l'enseignement*

La règle à calcul donne un moyen rapide d'exécuter une foule de calculs pour lesquels on n'a pas besoin d'une grande exactitude. On en doit rendre l'usage familier aux élèves, en ce qui concerne la multiplication et la division, comme le prescrit le Programme. On se contentera donc de mettre entre les mains des élèves des règles d'un prix modéré, sur lesquelles soient tracées les seules divisions nécessaires pour l'objet qu'(»n se propose.

Nous terminerons ces observations par une remarque générale : l'arithmétique doit être entièrement enseignée sur les nombres chiffrés. Il ne doit être fait aucun emploi des lettres dans les démonstrations; l'usage des lettres sera réservé pour l'algèbre, dont il sera donné quelques notions à la fin du cours d'arithmétique en troisième, et qui sera spécialement enseignée en seconde.