SOUSTRACTION ABR£6£E

128. Règlb. — Pour obtenir la différence de deux nombres entiers ou décimaux à une unité près d'un certain ordre^ on évalue ces nombres, tous deux par défaut ou tous deux par excès, à une unité près de cet ordre, et Von prend ensuite là différence des nombrer approchés.

Soient, par exemple, les deux nombres.

et supposons qu'on veuille obtenir leur différence à 0,001 près. D'après la règle^énoncée, on ne doit conserver que trois déci-

DBS OPiftATIOHS ABliciKS. ^ 89

maies danis les nombres proposés et l'on dispose ropération comme il suit :

Le résultat trouvé, 6,728, exprime la différence des nombres proposés, à 0,001 près, par défaut ou par excès.

En effet, pour avoir la différence exacte des nombres proposés, il su'^rait d'augmenter ou de diminuer 6,728 de la différence des quantités dont on a altéré les nombres proposés; ces quantités sont plus petites que 0,001; il en est donc de même de leur différence. Par conséquent, 6,728 diffère de moins de 0,00 1 du résultat exact.

MULTIPLICATION ABRtGÉE.

129. Règle* — Pour obtenir^ à une unité près d'un certain ordre, le produit de deux nombres entiers ou décimaux, on écrit le chiffre des unités du multiplicateur au-dessous du chiffre du multiplicande qui représente des unités cent fois plus petites que celle qui exprime le degré d'approximation demandé; on écrit ensuite les autres chiffres du multiplicateur dans l'ordre inverse de l'ordre ordinaire, c* est-dnlire les dizaines, centaines, etc., à droite du chiffre, des unités, les dixièmes, centièmes, etc, à gauche du chiffre des unités. On multiplie ensuite le multiplicande par chaque chiffre significatif du multiplicateur, en commençant chaque multiplication par le chiffre du multiplicande qui est au-dessus du chiffre du multiplicateur. On écrit tous ces produits partiels les uns aurdessous des autres, de manière que les derniers chiffres à droite se correspondent, et on les ajoute. On supprime les deux derniers chiffres à droite de la somme et Von augmente d'une unité le chiffre précédent.. Enfin on fait exprimer au résultat des unités de l'ordre de celle qui exprime le degré d'approximation demandé.

Le multiplicande et le multiplicateur étant écrits comme il vient d'être indiqué, il peut arriver que certains chiffres du multiplicateur n'aient pas de chiffres c'orrespondants au-dessus d^eux, soit à droite, soit à gauche du multiplicande. Dans le premier cas, on écrit, à la droite du multiplicande, autant dé zéros qu'il est nécessaire avant de commencer l'opération; dans le second cas, on opère sans tenir compte des chiffre^

90 CHANTU X.

du multiplicateur qui n*om pas de correspo&iiftnls ao-dessus

• d'eux.

Prenons pour exemple les deux nombres

et supposons qu'on veuille obtenir leur produit à 0,001 près. Le chiffre des unités du multiplicateur devra être écrit, conformément à la règle, au-dessous du chiffre des cent-millièmes du multiplicande et Topération sera disposée comme il suit :

3ioo628485

Le produit demandé est 3ioo6,285 à 0,001 près.

En effet, on voit, par la manière dont l'opération est disposée, que les produits partiels expriment tous des unités de même ordre que le chiffre du multiplicande sous lequel est écrit le chiffre des unités du multiplicateur, ces produits partiels expriment ici des ceni^miUièmes et leur somme 31006,28485 est évidemment plus petite que le produit exact des deux nombres proposés.

Cela posé, dans chaque multiplication partielle, nous avons négligé la partie du multiplicande à droite du chiffre qui correspond au chiffre du multiplicateur. Le nombre exprimé par ces chiffres est moindre qu'une unité de Tordre du chiffre à partir duquel commence la multiplication ; d'où il suit que l'erreur commise sur le produit partiel en question est moindre que le produit d'un cent-miltième par le chiffre du multiplicateur. I^r conséquent, la somme des erreurs commises dans les diverses multiplications partielles est moindre que le produit d'un cent'-miUitme par la somme des chiffres employés du muUii^Uiçateur, c'est-à-<lire nu>indre que

(9 4- 84-6-^94-6-+- 7 4-7) Xo,ooo0i, ou que 52 X 0,00001.

DES opàÊMnsmB abb^iêes. 91

En outre, nous avons négligé entièrement le t)ro4iiU du multiplicande par la partie 33 à gauche du multiplicateur. Le nombre ei^mé par ces chiffres est moindre qu'une unité de l'ordre du chiffre 7 écrit au-dessous du premier chiffre 3 du multiplicande; d'ailleurs, le nombre exprimé par tous les chiffres du multiplicande qui suivent le premier chiffre est moindre qu'une unité de l'ordre de ce premier chiffre ; par conséquent. Terreur provenant des chiffres négligés dans le multiplicateur est moindre que le produit d'un cent-millième par 3-4-1, c'est-à-dire moindre que 4 X 0,00001.

En résumé, le nombre 3ioo6,a8485 est en erreur, sur le produit des nombres proposés, d'une quantité inférieure à 52-f-4 ou 56 cent-millièmes, et, à plus forte raison, inférieure à 100 cent'-millièmes ou à i millième. Le produit des nombres proposés est donc compris entre 3ioo6,a8485et3ioo6,a8485-+.o,ooi. A phis forte raison, ce même produit est compris entre 3ioo6,a84 et 3ioo6,a86; par conséquent, le nombre 3ioo6,285, formé d'après la règle, est le produit des nombres proposés à 0,001 près, par défaut ou par excès.

^n se dispense habituellement d'écrire les chiffres du mxxU tiplicande et du multiplicateur qu'on ne doit pas employer; l'opération est alors disposée comme il suit :

28ft7433385

I»). Le raisonnement que nous venons de feire conduit k cette conséquence : Pour que la règle du n*> 129 soit exacle, \\ fout, dans le cas où tous les chiffres du mnltiplicateur ont été employés, que la somme de ces chiffres ne surpasse pas 100; et, dans le cas où tous les chiffres du multiplicateur n'ont pas été employés, Il «aut que la somme des chiffres employés, augmentée du premier chiffre à gauche du multiplicande et d'une liûilé, ne surpasse pas 100. Cette condition est le plus souvent

ga cBAMniE x.

remplie; lorsqu'elle ne Test pas, la règle doit subir les deux modifications que voici :

I" Le chiffre des unités du multiplicateur doit être écrit audessous du chiffre du multiplicande qui représente des unités mille fois plus petites que celle qui exprime le degré d'approximation demanda.

2*» La somme des produits partiels du multiplicande par les divers chiffres du multiplicateur ayant été formée, conformément à la règle, il faut supprimer les trois derniers chiffres à droite de cette somme et augmenter le chiffre précédent d'une unité.

La règle ainsi modifiée satisfait à tous les cas qui peuvent se présenter dans la pratique.

On voit aussi qu'on peut simplifier la règle dans le cas où la somme des chiffres du multiplicateur est inférieure à lo. On peut alors effectivement calculer un chiffre de moins dans chaque produit partiel; cette simplification est évidente, et nous n'insisterons pas d'avantage.

DIVISION ÂBRËGËE.

131. Ainsi qu'on l'a vu au n*» 116, pour diviser l'un par l'autre deux nombres décimaux, il faut multiplier ces nombres par l'unité suivie d'autant de zéros qu'il y a de décimales dans le diviseur et faire ensuite la division des nombres résultants; le diviseur devient alors un nombre entier.

En outre, dans la division d'un nombre entier ou décimal par un entier, on peut toujours faire en sorte que l'unité qui exprime le degré d'approximation demandé soit une unité simple. Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de trouver le quotient de 3471,326 par 7 à un centième près; le quotient demandé contiendra évidemment autant de centièmes qu'il y a d'unités dans un quotient 100 fois plus grand; il suffira donc de chercher le quotient de 3471 32,6 par 7 à une unité près et de faire exprimer des centièmes au résultat. De même, si l'on veut se borner à évaluer le quotient de 3471 » 326 par 7 à une dizaine près, on remarquera que le quotient demandé contient autant de dizaines qu'il y a d'unités dans un quotient 10 fois plus petit; il faudra donc évaluer le quotient de 347» 1 326 P*^ 7 ^ ^^^ unité près et faire exprimer ensuite des dizaines au résultat.

On voit par là que tous les cas de la division peuvent se ramener au cas où il s'agit de trouver, à une unité près, le quo^

DES OPiftATIOHS ABR^éfiS. ^3

tient d'un nombre entier ou décimal par un entier. Un peut même toujours faire en sorte que le dividende soit un nombre entier» en supprimant la virgule et en écrivant à la droite du diviseur autant de zéros qu'il y a de décimales dans le dividende; mais ces zéros ne jouent aucun rôle dans les calculs et il vaut mieux ne pas les écrire.

132. La division d'un nombre entier ou décimal par un entier peut s'effectuer d'une manière abrégée au moyen de la règle suivante :

Règle. — Pour obtenir, à une unité près, le quotient d'un nombre entier ou décimal par un entier, on commence par déterminer le nombre des chiures du quotient.

On prend sur la gauche du diviseur assez de chiffres pour que le nombre qu'ils expriment soit au moins égal à 9 fois le nombre des chiffres du quotient; ces chiffres forment /e dernier DIVISEUR. On compte encore, àTla suite du dernier diviseur, autant de chiffres moins un qu'il doit jr en avoir dans le quotient, et l'on effacé tous ceux qui suivent; les chiffres qui restent au diviseur forment le premier diviseur. Ensuite on efface, sur la droite du dividende^ outre les décimales qui peuvent s'y trou^ ver, autant de chiffres qu'il y en a dans le diviseur proposé à la droite du dernier diviseur; la partie conservée au dividende forme le premier dividende.

On divise le premier dividende par le premier diviseur et Ton a ainsi le premier chiffre du quotient; le reste obtenu est le deuxième dividende* On efface le dernier chiffre à droite du premier diviseur et l'on a le deuxième diviseur. On divise le deuxième dividende par le deuxième diviseur et l'on obtient le deuxième chiffre du quotient. On continue ainsi jusqu'à ce qu'on ait obtenu tous les chiffres du quotient.

Le nombre écrit au quotient est ^ à une unité près y par défaut ou par excès, le quotient des nombres proposés.

Supposons, par exemple, qu'on veuille obtenir le quotient de 2209368217,79 par 802198 à une unité près. Le quotient demandé doit avoir quatre chiffres; le produit de 4 par 9 étant 36, nous prenons, suivant la règle, les deux premiers chiffres 8 et o du diviseur proposé pour former le dernier diviseur; prenant encore 3 chiffres k la droite de ces deux-ci, nous obtenons le premier diviseur 80219, et nous effaçons le chiffre 8 qui suit le premier diviseur. Passant au dividende, nous effaçons les deux décimales et les quatre derniers chiffres de U

Q^ CHAmm X.

partie eniière, parce qu'il y a quatre chiffres dans le ditiseur proposé à la droite du dernier diviseur; le premier dividende est ainsi aaog36. Nous disposons Topératioii comme il suit, en marquant d*un astérisque les chiffres qu'on doit effacer tout d'abord et ceux qu'on efface dans le courant du cakul :

Je dis que le nombre 2754 obtenu conformément à la règle énoncée est le quotient des nombres proposés à une unHé près.

En effet, dans l'opéralicin qu'on vient d'exécuter, on a retranché successivement du dividende proposé, non pas les produits exacts du diviseur par les différents chiffres écrits au quotient, mais ces mêmes produits diminués chacun d'une* certaine quantité; l'excès du dividende sur les produits dotrt il s'agît est le nombre 218217 ,79, que l'on forme en écrïvant à la droite du dernier reste 21 les chiffres eifecés au divWerïde. II résulte de là que le nombre 2754 est le quotient exact que l*on obtiendrait en divisant, par le diviseur proposé, le dividende proposé diminué du reste 218217,7961 augmenté des produits qui ont été négligés dans la muhipHcatioti du diviseur par 2754. Si la somme de ces produits négligés et le reste total 218217,79 sont tous deux inférieurs au diviseur proposé, iï est clair que 2754 sera égal au quotient exact que Ton obtiendrait en divisant, par le diviseur proposé, le dividende proposé augmenté ou diminué d'un nombre inférieur au diviseur, nombre qui peut même se réduire à zéro. Par conséquent^ dans l'hypothèse admise, le dividende proposé contiendra au moins 2753 fois le diviseur proposé et ne le contiendra pas 2755 fois ; le quotient demandé sera donc 2754 à une unité près, par défont ou par excès.

Tout est donc ramené à prouver, i**quele reste total2i82i7,79 est inférieur au diviseur proposé; 2* que la somme des produits négligés dans la multiplication du diviseur proposé par les chiffres écrits au quotient est aussi moindre que le diviseur.

Le premier point est évident; car le dernier reste 21 est nécessairement moindre que le dernier diviseur 80; d'ail-

DES OVàRATimm ABBI^GÉES. gS

leurs les chiffres effacés dans k partie entière du dividende sont en même nombre que les chiffres qui suiTem le dernier diviseur, dans le diviseur proposé. Donc le reste total 218217,79 est moindre que le diviseur 802198.

Pour établir le second point, il faut apprécier la valeur des produits négligés dans la multiplication du diviseur proposé par le nombre écrit au quotient. En multipliant le diviseur par le premier chiffre du quotient, nous n'avons pas eu égard aux chiffres qui suivent le premier diviseur; de même, en multipliant le diviseur par le deuxième chiffre du quotient, nous avons négligé les chiffres qui suivent le deuxième diviseur, et ainsi de suite. En un mot, nous avons opéré, comme nous l'eussions fait s'il eût été question de multiplier, d'après la méthode abrégée, le diviseur proposé par le quotient. Dans cette multiplication abrégée, le chiffre 4 des unités du quotient renversé serait écrit au-dessous du dernier chiffre o du dernier diviseur 80, chiffre qui occupe la place des dizaines de mille; l'erreur qui affecte la somme des produits partiels obtenus dans la multiplication abrégée dont il s'agit est donc inférieure au nombre formé d'autant de dizaines de mille qu'il y a d'unités dans la somme des chiffres du quotient (n'* 129 }• Le nombre des chiffres du quotient étant 4» Terreur dont il s'agit est, à plus forte raison, moindre que 4X9 dizaines de mille. Or, le dernier diviseur 80 est, d'après la règle, au moins égal à 4X9; donc la somme des produits négligés, en multipliant le diviseur proposé par les chiffres écrits au quotient, est moindre que 80 dizaines de mille; cette somme est donc, à plus forte raison, moindre que le diviseur proposé 802198.

On se dispense habituellement d'écrire les chiffres supprimés tout d'abord au dividende et au diviseur; l'opération est alors disposée comme il suit :

133. Il peut arriver que, dans une division abrégée, f un de» dividendes soccessife contienne 10 fois le diviseur correspond datti; la règle suivante se rapporte à ce cas particulier :

Lorsqw'en appliquant la règle du n*» 132, on obtient un divi^

g6 CHAPITOB X.

dende qui contient lo fois le diviseur correspondant, on ier^ mine l'opération en. augmentant d'une unité le dernier chiffre écrit au quotient et en mettant à la droite de ce chiffre caitant de zéros qu'il reste de chiffres à écrire.

Supposons,, par exemple, qu'on demande le quotient de 4851729235 par 782543 à une unité près.

On obtient pour troisième dividende le nombre 7823 qui contient 10 fois le troisième diviseur 782; écrivons le nombre (lo) à la place des dizaines du quotient, comme si ce nombre n'avait qu'un seul chiffre, et continuons l'opération. Comme le deuxième reste 7823 qui sert de troisième dividende est moindre que le deuxième diviseur 7825, et que ce troisième dividende contient lo fois le troisième diviseur 782, il est évident que le troisième reste n'aura qu'un seul chiffre. D'ailleurs, le dernier diviseur a au moins deux chiffres : donc tous les chiffres qu'il reste à écrire au quotient sont des zéros. Le raisonnement du n^ 132 s'applique sans modification à notre exemple ; ainsi le quotient demandé est 61 (10)0 ou 6200 à une unité près. A la vérité, dans l'appréciation de Terreur commise en multipliant le diviseur par les chiffres écrits au quotient, ou a remplacé (n** 132) chaque chiffre par sa limite supérieure qui est 9, tandis qu'ici l'un de ces chiffres est censé contenir 10 unités. Mais le raisonnement dont nous avons fait usage suppose seulement que la somme des chiffres du quotient soit inférieure à 9 fois le nombre de ces chiffres ; il ne pourrait donc rester d'incertitude que dans le cas oii l'on serait conduit à écrire 10 pour le dernier chiffre du quotient, les chiffres précédents étant tous égaux à g : dans ce cas notre règle donne pour le quotient demandé l'unité suivie de plusieurs zéros et on reconnaîtra immédiatement si ce résultat est exact ou s'il faut le diminuer d'une unité.

134.. Lorsqu'il n'y a pas assez de chiffres dans le diviseur proposé pour former, suivant la règle du n*' 132, le premier diviseur, il est nécessaire de déterminer le premier chiffre ou quelques-uns des premiers chiffres du quotient, par la méthode vulgaire, avant d'employer la méthode abrégée. On pourrait à

DES OPÉRATtONS A^W^GéES. ^'J

la vérité écrire un même nombre de zéros à la droite du dividende et du diviseur, de manière à compléter les chiffres nécessaires pour former le premier diviseur, mais il est aisé de voir que cette seconde manière d'opérerest identique à la pwremîère.

Supposons, par exemple, qu'on demande le quotient de 31415,926535897 par 27,1828 à 0,001 près. D'après ce qui a été dit au n** 131, il faut supprimer la virgule au diviseur, la reculer de sept rangs vers la droite dans le dividende, chercher le quotient des nombres obtenus à une unité près et faire exprimer des millièmes au résultat. Le quotient des nombres 3 14159265358, 97 et 271828 contient sept chiffres; mais il est aisé de voir qu'on ne pourra déterminer que les quatre derniers chiffres par la méthode abrégée. Le dernier diviseur sera 271, et comme il a trois chiffres à sa droite dans le diviseur proposé, les trois derniers chiffres de la partie entière du dividende ne seront pas employés ; il est donc inutile d'écrire ces chiffres et l'opération sera disposée comme il suit :

Les trois premiers chiffres du quotient ont été déterminés par la méthode vulgaire, les quatre derniers par la méthode abrégée. Le quotient demandé est 1155,728 à un millième près.

t)8 CHAPITEE XI.