DES ERREURS RELATIVES

136. L'erreur dont un nombre approché est affecté, est dite V erreur absolue de ce nombre; cette erreur absolue est ainsi égale à la différence du nombre approché et du nombre exact.

On nomme erreur relative d'up nombre approché, le quotient de la division de Terreur absolue par le nombre exact. 11 s'ensuit que Terreur absolue est égale au produit de Terreur relative par le nombre exact.

C'est d'après Terreur relative, et non d'après Terreur absolue, qu'il faut juger du degré de précision obtenu dans la mesure d'une grandeur. Supposons qu'ayant eu à mesurer deux longueurs, Tune de looo mètres et l'autre de loo mètres, on ait commis dans chaque cas une erreur absolue de i mètre. Partageons la longueur de looo mètres en dix parties égales de loo mètres chacune, et distribuons uniformément Terreur de I mètre sur chaque partie. Terreur sera de i dixième de mètre pour chacune. Donc, quoique dans les deux mesures dont il s'agit. Terreur absolue soit la même, la première mesure doit être regardée comme pi us précise que la seconde; c'est ce qu'on aperçoit immédiatement en considérant Terreur relative qui

est dans le premier cas et dans le second.

lOOO '^ lOO

137. Il est utile de savoir assigner immédiatement une limite supérieure de Terreur relative d'un nombre approché, quand on connaît une limite supérieure de Terreur absolue; tel est l'objet de la proposition suivante qui est fondamentale :

Siy dans un nombre approché^ le premier chiure signiji-catif à gauche est exact, et quà partir de ce chiffre il f ait encore i, ou t., ou 3, etc.^ chiffres exacts, V erreur relative sera moindre que V unité divisée par le premier chiffre à gauche du nombre, suivi de i, ou 2, ou 3, etc., zéros.

Considérons, par exemple, le nombre exact 5467 ,342376. Si nous ne conservons que les trois premiers chiffres à gauche, nous obtenons le nombre approché 5460. L'erreur absolue est moindre que 10, le nombre exact est d'ailleurs plus grand

lOO CHAPITBE XI.

que Sooo; donc l'erreur relative est moindre ciue 7= — ou

5ooo

que •= — ? comme l'indique la proposition énoncée.

Si, dans le même nombre exact 5467,342376, nous conservons les six premiers chiffres à gauche, nous obtenons le nombre approché 5467,34. Ici Terreur absolue est moindre que 0,01, le nombre exact étant d'ailleurs plus grand que 5ooo,

Terreur relative est moindre que ~ — ou que -=

^ 0000 ^ Doqoo

Considérons encore le nombre o,oo853, qui est approché à une unité près de Tordre de son dernier chiffre à droite. L'erreur absolue de ce nombre est moindre que 0,00001 ; d'ailleurs le nombre exact est plus grand que o ,00800; donc Terreur

, . . , o,ooooi I

relative est momdre que 5 — ou que^ — •

Eemarque. — Le premier chiffre à gauche d'un nombre approché figure seul, comme on le voit, dans notre limite de Terreur relative. Souvent, pour plus de simplicité, on substitue I à ce chiffre. Ainsi le nombre o,oo853, dont les cinq chiffres

sont exacts, est affecté d'une erreur relative moindre que 0— ;

cette erreur relative est, à plus forte raison, moindre que — •

138. Nous avons encore besoin, pour l'objet que nous avons en vue, de savoir assigner immédiatement une limite supérieure de Terreur absolue d'un nombre approché, quand on connaît une limite supérieure de Terreur relative. La solution de celle seconde question est renfermée dans la proposition suivante :

Si l'erreur relative d'un nombre approché est moindre que V unité divisée par un chiffre suivi de i , ou 2, ou 3, etc, zéros, on pourra compter sur l'exactitude du premier chiffre significatif à gauche du nombre approché, ou des deux premiers chiffres^ ou des trois premiers, etc; quelquefois même on pourra compter sur un chiffre de plus.

Supposons que Terreur relative d'un nombre approché soit

inférieure à \ je dis que si le premier chiffre à gauche du

nombre approché est inférieur à 7, on peut compter sur l'exactitude des cinq premiers chiffres à gauche, c'est-à-dire que