CALCUL DES NOMBRES APPROCHAS. TOI
Terreur absolue, dont le nombre est affecté, est moindre qu'une unité de l'ordre du cinquième chiffre. Si, au contraire, le premier chiffre à gauche du nombre approché est égal ou supérieur à 7, on ne peut compter que sur les quatre premiers chiffres, i*» Soit le nombre approché 5467,342876, dont Terreur relative est inférieure à • L'erreur absolue de ce nombre est
moindre que la 70000* partie du nombre exact; d*ailleurs celuici est moindre que 7000; donc Terreur absolue est moindre que
X 7000, c'est-à-dire moindre que 0,1.
Puisqu'on ne peut pas répondre de Texactitude des cihq. derniers chiffres à droite du nombre 5467,342376, il est inutile de conserver ces chiffres. A la vérité, en substituant 5467, 3 à 5467,342376, on commet une nouvelle erreur qui s'ajoute à Terreur dont ce dernier nombre est affecté, ou qui s'en retranche, suivant que le nombre est approché par défaut ou par excès. Dans le premier cas, il faut augmenter de i le dernier chiffre conservé; dans le second cas, au contraire, on doit prendre ce chiffre tel qu'il est. Si Ton ignore le sens de Terreur qui affecte le nombre 5467,342876, on lui substituera Tun quelconque des deux nombres 5467 ,3 et 5467 ,4 ; dans ce cas, on pourra commettre une erreur supérieure à 0,1, mais cette erreur sera certainement plus petite que 0,2,.
2" Soit le nombre approché 789,342876, dont Terreur relative est inférieure à • Le nombre exact étant inférieur
à 7000, Terreur absolue est moindre que X 7000, c'està-dire moindre que o, i. On peut donc compter sur Texactitude des quatre premiers chiffres à gauche, dans le sens qui a été indiqué plus haut.
ERREUR RELATIVE D'UN PRODUIT OU D'UN QUOTIENT. 139. L'erreur relative du produit de deu:^. facteurs, l'un exact, r autre approché, est égale à l'erreur relative du facteur approché.
En effet, considérons le produit 3, i4 X 2,71 dont les deux facteurs sont exacts. Substituons au premier facteur une valeur approchée par défaut, 3, 11 par exemple; Terreur absolue de
ce facteur sera o,o3, et Terreur relative sera ^-^ ou ^— 7» Cela
lOlÀ CHAPITRE XI.
posé, le produit 3 , i4 X 2,71 est égal à 3i4 X 27 1 dix-millièmes, et quand on substitue 3i i à 3i4, on commet une erreur absolue égale à 3x271 dix •millièmes ; Terreur relative du produit
3,11 X2,7i est donc ^—7 — ^ ou -t—tî ce qui démontre la ' 314x271 3i4
proposition énoncée.
Dans le produit considéré, le fecteur inexact est approché par défaut; mais il est évident que notre raisonnement s'applique également au cas où ce facteur serait approché par excès.
14-0. L'erreur relative du produit de deux facteurs approchés var défaut est moindre que la somme des erreurs relatives des facteurs.
En effet, considérons le produit 3, 14 X 2,71 dont les deux facteurs sont exacts. Substituons au premier facteur la valeur
approchée 3, 1 1 dont Terreur relative est-r-y? Terreur relative
du produit 3,11 X 2,71 sera aussi égale à ^y ( n** 139), et, par
conséquent, en substituant le deuxième produit 3,11X2,71, au premier produit 3 , i4 X 2 ,7 1, on commettra une erreur ab-
solue égale aux r-7 de ce premier produit. Substituons maintenant au deuxième facteur 2,71 la valeur approchée 2 ,69 dont
Terreur relative est — ; le raisonnement que nous venons de
laire prouve qu'en prenant le troisième produit 3,ii x 2,6g, au lieu du deuxième produit 3, 11 x 2,71, on commettra une
erreur absolue égale aux de ce deuxième produit; cette
erreur sera donc moindre que les — du premier produit
3 , i4 X 2 > 7 1 . On voit par là qu'en substituant au produit exact
3,i4x 2,71 le produit approché 3, 11 X 2,69, on commet une
erreur absolue qui est moindre qu'une fraction du produit exact
3 2 égale à ^-7 -\ -, donc Terreur relative du produit approché
est moindre que la somme des erreurs relatives des facteurs. Remarque. — Il est aisé de déterminer l'excès de la somme des erreurs relatives des facteurs sur Terreur relative du produit. Dans notre exemple, quand on passe du premier produit 3,14X2,71 au deuxième produit 3,11X2,71, on
CALCUL DES NOMBRES APPUOCUÉS. Io3
commet une erreur absolue égale aux ^-j du premier produit,
et quand pn passe du deuxième produit au troisième produit
3, 1 1 X 2,69, on commet une erreur absolue égale aux du
deuxième produit; cette dernière erreur est évidemment égale
aux — du premier produit moins les - — des ^-y de ce premier
produit : donc Terreur relative du produit approché 3 , 1 1 X 2 ,69
est précisément égale a ^—7 h — -— , x - — • Ainsi
V erreur relative du produit de deux facteurs approchés par
défaut est égale à la somme des erreurs relatives des facteurs
diminuée du produit de ces mêmes erreurs.
On démontrerait, par un raisonnement identique à celui dont nous avons fait usage, que :
L'erreur relative du produit de deux facteurs approchés par excès est égale à la somme des erreurs relatives des facteursy augmentée du produit de ces mêmes erreurs;
Et que :
L'erreur relative du produit de deux facteurs approchés, l'un par défaut, l'autre par excès, est égale à la différence des erreun relatives des facteurs, augmentée ou diminuée du produit de ces mêmes erreurs,
141. Dans les calculs qui exigent une grande précision, les erreurs relatives des nombres approchés, sur lesquels on doit opérer, sont généralement des fractions très-petites, et alors le produit de deux de ces erreurs est très-petit relativement à chacune d'elles. Si Ton néglige ce produit, on obtient la proposition suivante qui s'applique à tous les cas :
L'erreur relative d'un produit de deux facteurs est égale à la somme ou à la différence des erreurs relatives des facteurs.
L'inexactitude dont cette proposition paraît entachée ne peut avoir aucune influence dans les applications que Ton en fait. On sait d'ailleurs quelle est la quantité que l'on néglige et il serait aisé, dans chaqpe cas, de vérifier qu'elle n'^a aucune importance.
On déduit immédiatement de là que :
V erreur relative d'un produit d'un nombre quelconque de facteurs est égale à la somme des erreurs relatives des fadeurs
lo4 CHAPITBE XI.
Qii à la sommé de quelques-unes de ces erreurs, diminuée de la somme de toutes les autres.
En effet, soit le produit 3,14X2,71X9)87; supposons que les (Jeux premiers facteurs soient approchés par défaut et le troisième par excès. L'erreur relative du produit considéré sera égale à la différence des erreurs relatives du produit 3,i4 X a,7i et du facteur 9,87; elle sera donc égale à la différence qui existe entre la somme des erreurs relatives des facteurs 3,i4> 2,71 et Terreur relative du troisième facteur 9»87.
