EXTRACTION DE LA RACINE CARR£E D'UN NOMBRE ENTIER

174'. Tous les nombres entiers ne sonl pas des carrés; aussi nous nous proposons simplement ici de trouver la racine carrée du plus grand carré entier contenu dans un nombre donné- L'excès du nombre donné sur le plus grand carré dont il s'agit est dit le reste de l'opération ; ce reste est zéro quand le nombre donné est un carré.

Lorsque le nombre donné est moindre que 100 ou loX 10, la racine demandée s'obtient par la simple inspection de la Table des carrés des 9 premiers nombres

I, 2, 3, 4> 5, 6, 7, 8, 9, qui sont

Veut-on, par exemple, la racine carrée du plus grand carré entier contenu dans 58? Le nombre donné est compris entre 49 et 64 ; la racine carrée de 49 est 7 : par conséquent 7 est la racine demandée et le reste de l'opération est 58 — 49 ou 9.

Nous examinerons maintenant le cas où le nombre donné est supérieur à 100.

175. Soit le nombre 585916 et proposons-nous d'extraire la racine carrée du plus grand carré entier contenu dans ce nombre.

Le nombre donné étant plus grand que 100, la racine demandée est au moins égale à 10. On peut donc supposer cette racine décomposée en dizaines et en unités, et, par conséquent, son carré se composera (n** 173) du carré des dizaines, de deux fois le produit des dizaines par les unités et du carré des unités. Or, le carré du nombre des dizaines est contenu dans le nombre 5859 des centaines du nombre proposé, et celui-ci peut d'ailleurs renfermer quelques centaines prove-

DE LA RACINE CABEÉE. 1 2g

nant des deux autres parties du carré de la racine et du reste ; donc en extrayant la racine carrée du plus grand carré entier contenu dans SSSg, on aura le nombre des dizaines de la racine cherchée ou un nombre trop fort. Or il est aisé de voir que ce nombre ne peut être trop fort. En effet, supposons que 76 soit la racine du plus grand carré entier contenu dans S8Sg : le carré de 76 pouvant se retrancher de SSSg, le carré de 760 pourra évidemment se retrancher de SSSgoo et, par suite, de 585916.

On voit par là que le nombre des dizaines de la racine demandée est égal à la racine du plus grand carré contenu dans le nombre des centaines du nombre donné. Nous sommes ainsi conduits à chercher d'abord la racine du plus grand carré entier contenu dans 5859.

Le nombre 5859 étant lui-même plus grand que 100, la racine qu'il feut trouver est supérieure à 10 et Ton voit, par un raisonnement identique à celui qui vient d'être fait, que le nombre des dizaines de celte racine est égal à la racine du plus grand carré contenu dans le nombre 58 des centaines de SS5g. Nous sommes ainsi conduits à chercher d'abord la racine du plus grand carré entier contenu dans 58.

Le nombre 58 étant plus petit que 100, la racine qu'il faut trouver est moindre que 10; on trouve (n® 174.) que cette racine est 7.

La racine du plus grand carré contenu dans 5859 renferme donc 7 dizaines; nous allons chercher le chiffre des unités de cette racine. L'excès du nombre 58 sur le carré 49 de 7 étant 9, il est évident que si l'on retranche de 5859 le carré de 7 dizaines, c'est-à-dire 49 centaines, le reste contiendra 9 centaines et 59 unités; il sera donc 959. Or, je dis que si l'on divise le nombre 95 des dizaines de ce reste par le double i4 du nombre des dizaines de la racine demandée, le quotient obtenu sera égal ou supérieur au chiffre des unités de celte racine. En effet, le nombre 5859 contient, i** le carré dès dizaines de la racine demandée; 2? le double produit des dizaines par les unités; 3*> le carré des unités; 4** le reste de l'opération. Si donc on retranche de 5859 la première de ces quatre parties, le reste obtenu 95g contiendra encore les trois autres parties; le nombre 95 des dizaines de ce reste est donc au moins égal au produit que l'on formerait en multipliant le double 14 du nombre des dizaines de la racine demandée par le chiffre des unités de cette racine; Par conséquent, le quotient 6 que l'on trouve en

l3o CHAPITRE XIH.

divisant gS par i4 est le chiffre des unités de la racine ou un chiffre trop fort. Pour reconnaître si le chiffre des unités de la racine est effectivement 6, il faut voir si le carré de 76 peut être retranché de 5859. Or le carré de 76 ou de 70 4-6 est égal à 70» H- 2X70x6 + 6* ou égala 4900-4-140X64-6»; en retranchant de 5859 '^ première de ces trois parties, savoir 4900, nous avons trouvé pour reste 959 ; il suffit donc de chercher si, de ce reste, on peut encore soustraire 140X64-6* ou (1404-6) x6 ou enfin 146x6. Le produit de i46 par 6 est 876, nombre inférieur à 959; par conséquent, le chiffre des unités de la racine demandée est 6. L'excès du nombre SSSg sur le carré de 76 est évidemment égal à l'excès de 969 sur 146x6 lequel est 83.

Revenons maintenant au nombre donné 535916; la racine du plus grand carré entier contenu dans ce nombre renferme 76 dizaines; il reste à trouver le chiffre des unités dé la racine. Comme l'excès de 5859 sur 76» est 83, l'excès de 585916 sur le carré de 76 dizaines, c'est-à-dire sur 76* centaines, contiendra 83 centaines et 16 unités; cet excès est donc 83i6. £n répétant ici un raisonnement déjà fait plus haut, on prouvera que si Ton divise le nombre 83i des dizaines de 83i6 par le double i52 du nombre des dizaines de la racine, le quotient obtenu 5 doit être égal ou supérieur au chiffre des unités de la racine demandée. Pour reconnaître si le chiffre des unités de la racine est effectivement 5, il faut voir si le carré de 765 peut être retranché de 585916. Or le carré de 765 ou de 7604-5 est égal à 760» 4- 2 X 760 X 5 -f- 5'; en retranchant de 586916 la première de ces trois parties, savoir 760*, nous avons trouvé pour reste 83 16; il suffit donc d'examiner si, de ce reste, on peut encore soustraire 2X76ox54-5' ou i52ox54-5% ou enfin i525x5. Le produit de i525 par 5 est 7625, nombre inférieur à 83 16; la racine demandée est donc 765. Quant au reste de l'opération, il est égal à l'excès de 83 16 sur 7625, c'est-à-dire égal à 691.

On dispose l'opération de l'une des deux manières suivantes :

DE LA EÀGIIIE GABHÉE. l3r

En adoptant la seconde dispositioh, on retranché, sans les écrire, les produit 7X7, i46x6, i525x5 des nombres*58, gSg, 83i6 respectivement, comme nous ravoiis indiqué en ti^itant de la division.