Ce qui précède conduit à la règle suivante

PoUir eijctraire la racine carrée d^un nombre entier, on le partage en tranùkês de déuâc chiffres à partir de la droite. Le nombre de ces tranches, dont la première à gauche peut n'orvoir qu'un seul chiffre y est égal au nombre des chiffres de la racine.

On extrait la racine du plus grand carré entier contenu dans le nombre formé par la première tranche à gauche; on a ainsi le premier chiffre de la racine.

On retranche le carré de ce chiffre du nombre exprimé par la première tranche à gauche : on obtient ainsi un premier reste à la droite duquel on abaisse la deuxième tranche. On sépare le dernier chiffre à droite du nombre ainsi formé, et ton divise la partie à gauche par le double du premier chiffre de la racine. Le quotient entier de cette division est égal ou supérieur au deuxième chiffre de la racine. Pour essayer ce chiffre, on l'écrit à la droite du double du premier chiffre de la racine, et l'on multiplie le résultat par le chiffre essayé. On retranche le produit y du nombre formé parle premier reste suivi de la deuxième tran-^ che : si la soustraction peut se faire, le chiffre essayé est exact; sinon, on essaye de la même manière le chiffre inférieur d'une unité, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on ait trouvé le chiffre exact.

Le deuxième chiffre de la racine étant trouvé, on abaisse la troisième tranche pour l'écrire à la droite du deuxième reste. On sépare le dernier chiffre à droite du nombre ainsi formé, et l'on divise la partie gauche par le double du nombre formé par les deux premiers chiffres de la racine. Le quotient entier de ^ette division est égal ou supérieur au troisième chiffre de la racine. Pour essayer ce chiffre, on l'écrit à droite du double du nombre formé par les deux premiers chiffres de la racine et l'on multiplie le résultat par le chiffre essayé. On retrancke* le produit du nombre formé par le deuxième reste suivi de la troisième tranche : si la soustraction peut se faire, le chiffre essayé est exact; sinon, on essaye de la même manière le chiffre inférieur dune unité.

On continue de cette manière jusqu'à ce que toutes les tran-

l32 CHAPITRE XIII.

ches aient été successivement abaissées. Le dernier reste obtenu est le reste de l'opération.

Remarque. — Il peut arriver que, dans Tune . des diyisions dont il vient d'être question, le quotient entier soit zéro : dans ce cas, le chiffre correspondant de la racine est zéro. Le reste correspondant à ce chiffre est alors le dernier reste obtenu suivi de la dernière tranche abaissée; on abaisse une nouvelle tranche et Ton continue l'opération d'après la règle.

1T7. Tous les chiffres de la racine carrée d*un nombre, excepté celui des plus hautes unités, s'obtiennent par une division qui peut conduire à un chiffre trop fort. Si l'on diminue successivement d'une unité le chiffre reconnu trop fort, on arrive sûrement au véritable, mais souvent, pour abréger, on diminue le chiffre de plusieurs unités et l'on peut se trouver conduit de la sorte à un chiffre trop faible. Pour reconnaître s'il en est ainsi, il suffit de remarquer que le reste auquel conduit l'extraction de la racine carrée doit toujours être inférieur au double de la racine, augmenté d'une unité.

En effet, supposons qu'ayant eu à extraire la racine du plus grand carré contenu dans un nombre donné, on »it trouvé 765 pour la valeur de cette racine. Si le reste était égal ou supérieur à 2 X 765 -f- 1 , le nombre donné serait égal ou supérieur à 765* -f- 2 X 7654-1, c'est-à-dire égal ou supérieur (n** 173) au carré de 7G5-1-1. Par conséquent, 765 ne serait pas la racine du plus grand carré contenu dans le nombre donné.

EXTRACTION DE LA RACINE CARRÉE D'UN NOMBRE ENTIER A UNE UNITË PR£S D'UN ORDRE DÉGJlfAL DONNÉ.

178. Lorsqu'un nombre entier n'est pas un carré exact, on peut, d'après ce qui précède, obtenir la racine du plus grand carré entier contenu dans ce nombre. Mais il n'est pas moins utile de savoir déterminer le plus grand nombre entier de dixièmes, ou de centièmes , etc., dont le carré soit contenu dans le nombre donné. Nous allons nous occuper ici de cette recherche.

Supposons, par exemple, qu'on demande le plus grand nombre de dixièmes dont le carré soit contenu dans 7. Le carré de ce nombre de dixièmes est un nombre de centièmes qui doit pouvoir se retrancher de 7 ou de 700 centièmes; on obtiendra donc le résultat demandé en extrayant la racine du plus grand carré entier contenu dans 700 et en faisant exprimer des dixièmes à la racine trouvée.