DE LA RACINE GARR

On déduit de là la règle suivante :

Pour auoir fo plus grand nombre de dixièmes ou de ceniièmeSf etc., dont le carré soit contenu dans un entier donné, il faut écrire deux ou quatre, etc., zéros à la droite du nombre donné, extraire la racine du plus grand carré entier contehu dans le résultat et séparer un ou deux, etc., chiffres décimaux sur la droite de la racine obtenue.

Si Ton veut avoir le plus grand nombre de dix-milliçmes dont le carré soit contenu dans 7, il faudra, d'après la règle, extraire la racine du plus grand carré contenu dans 7 X ipooo* ou 700000000 et séparer quatre chiffres décimaux sur la droite de la racine obtenue.

3oo

3o4oo

3,6457 exprime le nombre de dix-millièmes demandé.

179. Souvent on se dispense d'écrire des zéros à la droite du nombre donné, mais on opère comme si ces zéros étaient écrits; ainsi, après avoir extrait la racine du plus'grand carré entier contenu dans le nombre donné, on place une virgule à la droite de cette racine et on continue l'opération en écrivant deux zéros à la droite du dernier reste obtenu et des suivants, jusqu'à ce qu'on ait obtenu à la racine tous les chiffres demandés. On forme ainsi successivement les plus grands nombres d'unités, de dixièmes, de centièmes, etc., dont les carrés soient contenus dans le nombre donné; l'opération peut être prolongée indéfiniment.

Conservons l'exemple du nombre 7 ; le calcul sera disposé comme il suit :

3oo

3o4oo

l34 CHAPITRE Xm.

On voit que le nombre 7 est plus grand que les carrée des nombres

et que ce même nombre 7 est plus petit que les carrés des nombres

La différence entre Tun des nombres de la suite (i) et le correspondant de la suite (2) peut devenir moindre que toute quantité assignable, et il en est de même de la différence des carrés de ces nombres. Pour établir ce dernier point, considérons deux termes correspondants quelconques des suites ( i ) et (2), par exemple ceux qui occupent le 3* rang. Comme la différence des carrés des entiers 265 et 264 est 2 x 264 -♦- 1 (n'' 173), la différence des carrés de3 nombres a, 65 et 2,64 qui est loooo foi$ plus petite sçra 9X2,64X0^01 +0,0001 ou 2 X a, 65 X 0,01 — 0,0001 ; cette différence est donc moindre que 2 X a, 65 Xojpi et, à plus forte raison, moindre que 2X3xo,oi ou que 0,06. On ferait voir de même que la différence des carrés des nombres qui occupent dans les suites ( I ) et (2) le 4* rang est inférieure à 0,006, que celle des carrés des nombres qui occupent le 5* rang est inférieure à o , 0006, etp. Il résulte de là que les carrés des nombres ( i ) et ceux des nombre^ (2) s'approchent indéfiniment du nombre 7 qui est, pour ce? deux suites de carrés, une limite commune. Les suites ( 1) et (9) on^ elles-métmes uqe limite commune, et cette limite est ce que Ton nomme la racine carrée du nombre 7. Les nombres qui formant les suites (1) et (2) sont les valeurs de ^ à une uqité près, à un dixième près, etc., par défaut et par excès {*).

180. Lorsqu'on cherche ainsi à évaluer en décimales la racine carrée d'un entier qui n'est pas le carré d'un autre entier, l'opération ne peut jamais se terminer, et le nombre décimal que l'on écrit à la racine n'est pas périodique. En d'autres

(*) Les Qombree ne sont que U représentation des grandeurs; aussi quand nous disons que les suites (i)et(a) ont une limite, nous entendons par là que si Ton conçoit une infinité de grandeurs d'une même espèce quelconque, des longueurs par exepiple, qui soient exactement mesurées par les nombres de la suite (1) ou de la suite (9 ), ces longueurs s'approchent indéfiniment d^une certaine limite. Cette limite est une longueur qui est exactement mesurée par le nombre ^>

DB LA RACINE CARBJ^. l35

termes, un nombre entier qui n'est pas le carré d^un nombre entier, ne peut être le carré d^ une fraction. En effet, les deux termes d'une fraction irréductible sont premiers entre eux; par suite leurs carrés sont eux-mêmes premiers entre eux. Donc Je carré d'une fraction irréductible est une seconde fraction irréductible qui ne peut, en conséquence, se réduire à un nombre entier.

Les racines carrées des nombres qui ne sont pas des carrés exacts appartiennent à la classe des nombres incommensurables. Un nombre est dit incommensurable lorsque la grandeur dont il exprime la mesure n'est pas égale à un multiple de l'unité ou à un multiple d'une partie aliquote de l'unité.

181. Le calcul qu'on exécute pour évaluer en décimales la racine carrée d'un entier peut donner cette racine à une demiunité près de l'ordre de son dernier chiffre. Effectivement, si le reste de l'opération n'est pas supérieur au nombre formé par les chiffres écrits à la racine, on a cette racine à une demi-unité près de l'ordre de son dernier chiffre. Si, au Contraire, le reste est supérieur au nombre formé par les chiffres écrits à la racine, on aura cette racine à une demi-unité près de l'ordre de son dernier chiffre, en augmentant d'une unité le dernier chiffre obtenu.

En effet, la racine étant trouvée avec le nombre de chiffres désigné, supposons qu'on veuille obtenir un chiffre de plus.^ D'après la règle du n*» 176, il est évident que ce nouveau chiffre sera inférieur à 5, si le dernier reste obtenu est égal ou inférieur au nombre formé par les chiffres déjà écrits à la racine. Au contraire, le nouveau chiffre sera égal ou supérieur à 5, si le dernier reste est supérieur au nombre écrit à la racine.