EXTBACTION DE LA RACINE CARRÉE DES FRACTIONS ORDINAIRES ET DÉCIMALES
182. Lorsque les deux termes d'une fraction sont des carrés, la racine carrée de cette fraction s'obtient exactement en extrayant la racine carrée du numérateur et celle du dénominateur.
Lorsque les deux termes d'une fraction irréductible ne sont pas l'un et l'autre des carrés, la fraction ne peut être le carré d'une autre fraction et sa racine carrée est un nombre incommensurable. Les considérations dont nous avons fait usage pour définir la racine carrée d'un entier qui n'est pas un carré exact, peuvent être appliquées sans modification au cas d'un
«36 CHAFITRB Xnu
nombre fractiannaire et même au cas d'un nombre incommen^ surable. Ainsi Ton obtiendra des valeurs de plus en plus approchées de la racine carrée d'un nombre quelconque donné, en cherchant les plus grands nombres d'unités, de dixièmes» de centièmes, etc., dont les carrés soient contenus dans le nombre donné; en outre, la limite de ces valeurs approchées sera la valeur exacte de la racine carrée du nombre donné.
183. Proposons-nous d'abord d'extraire la racine carrée d'un nombre fractionnaire à une unité près. Soit, par exemple, le nombre 4i>75; il s'agit d'avoir la racine du plus grand carré entier contenu dans ce nombre. Le plus grand carré entier contenu dans 4' ylS ne peut surpasser 4i ; il est donc égal au plus grand carré entier contenu dans 4i , c'est-à-dire égal à 36, La racine de 36 est 6, par conséqueiit 6 elt la valeur ^4*7?^ à une unité près, par défaut. Il rés}Mte de là que :
Pour obtenir, à une urtité près, par défaut, la racine carrée d'un nombre fractionnaire, il suffit d'extraire, à une unité près, par défaut, la racine carrée de V entier contenu dans le nombre fractionnaire.
184. Supposons, en second lieu, qu'on ait à extraire la racine carrée d'un nombre décimal à une unité près d'un ordre décimal déterminé. Soit, par exemple, le nombre 3,i4j5g265 dont on demande la racine carrée à o,ooi près. Il s'agit de trouver le plus grand nombre de millièmes dont le carré soit contenu dans 3,i4iS9265; en |^épétanl ici textuellement le raisonnement dont nous avons fait usage au n'' 178, on prouvera que le résultat demandé s'obtiendra en extrayant la racine du plus grand carré entier contenu dans le nombre 3 , 1 4 1 59265 X 1 ooo% ou 3 1 4 1 592 ,65 et en séparant trois chiffres décimaux sur la droite de la racine trouvée. On est donc ramené (n® 183) à extraire la racine carrée de 3141592 à une unité près.
La racine demandée est i ,772 à o,ooi près par défaut. On peut ainsi énoncer la règle suivante :
Pour extraire la racine carrée d'un nombre décimal à une
DE LA BAONE CAEBÉE. l^J
unité près d'un ordre décimal déterminé, on consem^e dans ce nombre deux fois autant de décimales qu'on en veut avoir à la racine et l'on néglige toutes les décimales suivantes ; on supprime ensuite la virgule; on extrait à une unité près la racine carrée du résultat et l'on fait exprimer à cette racine des unités du même ordre que celui de l'unité qui désigne le degré d'approximation demandé*
Remarque. — Il peut arriver que le nombre des chiffres décimaux du nombre donné soit inférieur au double du nombre des chiffres décimaux demandés à la racine ; dans ce cas, il faut» avant d'appliquer la règle, compléter par des zéros les décimales manquantes.
185. Supposons enfin qu'on ail à extrairela racine carrée d'une
fraction ordinaire à une unité près d'un ordre décimal déter-
miné. Soit, par exemple, la fraction - dont on demande la racine
' 5 carréeào ,ooi près. Réduisons la fraction - en décimales ; on ob-
lient pour résultat 0,714285 Pour extraire la racine carrée
de ce nombre décimal à o,ooi près, il ne faut conserver que six décimales, supprimer la virgule, extraire la racine du résultat 714285 à une unité près et faire exprimer des millièmes au résultat. La racine de 714285 est 845 à une unité près, par
défaut; donc o,845 est la valeur de i/- à 0,001 près, par défaut. On voit que :
Pour extraire la racine carrée d'une fraction ordinaire à une unité près d'un ordre décimal déterminé, il suffit de réduire la fraction ordinaire en fraction décimale et de calculer un nombre de chiffres décimaux double du nombre de ceux que ton veut aifoir à la racine- On est ramené alors à extraire la racine carrée du nombre décimal obtenu.
EXTRACTION DE LA RACINB CARRÉE DES NOMBRES APPROCflfiS.
186. D'après le principe du n*> 141, l'erreur relative du carré d'un nombre approché est égale au double de l'erreur relative du nombre donné. Il suit de là que l'erreur relative de la racine carrée d'un nombre approché est égale à la moitié de l'erreur relative du nombre donné.
Ce principe permet de résoudre très-aisément toutes les
l?S CHAPITRE XUI.
question» qui se rapportent à l'extraction de la racine carrée des nombres approchés; nous allons donner quelques exemples:
I® Le nombre 3, i4i étant connu à une unité près de l'ordre de son dernier chiffre, on demande avec quelle approximation on peut calculer sa racine carrée. L'erreur relative du nombre
3, i4i est moindre que 5—- — ; ; donc l'erreur relative de ^3,i4i
est moindre que ^— — 3? et, comme le premier chiffre de cette
racine est moindre que 6, on pourra compter sur l'exactitude des quatre premiers chiffres. La racine du nombre approché 3yi4i ou 3,i4iooo est i ,772 à 0,001 près.
2® On demande de calculer v/867 -h v^ à 0,001 près. On voit aisément que le nombre demandé doit avoir quatre chiffres; on voit aussi qu'il suffit de calculer ^73 à o,t près. En effet, l'erreur relative de la valeur approchée de 867 + ^T% sera alors
moindre que ^—- — r; par suite Terreur relative de la racine
sera moindre que -^ 5 ? et l'on pourra compter sur les
quatre premiers chiffres de cette racine. La valeur de /73^st 3,6 à o, I près; celle de v^87o,6 ou de \/87o,6ooo est 29,50 à 0,01 près. Le nombre demandé est donc 29,50 à 0,01 près.
3*> On demande de calculer V 86742 -h v^i3 à o , i près. Ici l'on peut négliger complètement ^i3. En effet, l'erreur relative du
nombre approché 86742 est alors moindre que ^—~ — ^9 puisque les quatre premiers chiffres de 86742 sont exacts; l'erreur relative de ^^86742 est donc moindre que -^-~ — i et, par suite,
les quatre premiers chiffres de cette racine sont aussi les quatre premiers chiffres de la racine demandée.
C'est ici l'occasion de faire remarquer qu'on peut simplifier notablement la règle donnée au n° 185, pour l'extraction de la racine carrée des fractions ordinaires à une unité près d'un ordre décimal déterminé. Dans la réduction préalable de la fraction donnée en décimales, la règle prescrit de calculer un nombre de chiffres décimaux double du nombre de ceux qu'on veut avoir à la racine. Il suffît évidemment que le
mm LA mA€iHB cAnés. 189
aonibre des chiffres calculés soit tel, que l'erreur relative du résultat ne surpasse pas le double de celle qui doit affecter la
racine. Par exemple, pour avoir i/- à 0,001 près, on peut sub-
stituero,7Y4ooûà - et Ton trouve (n*" 138) pour résultat 0,84^
comme au n* 185.
PROPRl£T£S RELATIVES A LA THfiORIE DE LA RACINE CARRÉE.
187. La proposition fondamentale par laquelle il est permis d'intervertir l'ordre des facteurs d'un produit, s'applique au cas où les facteurs sont incommensurables. En effet, soit le produit ^X V^ X ^. Pour calculer ce produit, il faut substituer aux facteurs des valeurs commensurables approchées ; on obtient ainsi un produit approché qui est indépendant de l'ordre des facteurs. Donc on peut intervenir l'ordre des facteurs du produit proposé.
n résulte de là que pour multiplier un nombre par un produit de plusieurs facteurs quelconques, il suffit de multiplier successivement par les facteurs du produit.
Ces propositions conduisent à des remarques utiles :
i<» Ze produit des racines carrées de plusieurs nombres est égal à la racine carrée du produit de ces nombres.
Soit en effet le produit V^ X ^ X ^; son carré sera \/âXv^Xv^XV^Xv/5x\/5, ou v^X v'aX V'3X \/3X V^X V'5, ou enfin a x 3 X 5; donc le produit proposé est égal à ^2X3x5.
2** Le quotient des racines carrées de deux nombres est égal à la racine carrée du quotient de ces nombres.
Soit en effet le quotient ^5 comme 2 est égal à ^ X 3, v^
égal à i/| X v^; donc i/| est égal au quotient de Va
par sfZ*
3** Pour multiplier une racine carrée par un nombre y il suffit de multiplier le nombre qui est sous le radical par le carré du nombre dont il s'agit.
Soit le produit 3 X ^2; comme 3 est égal à v^, le produit donné est égal à ^9 x V^ ou à ^g X 2.
Quand on remplace le produit 3 X y^a par ^9X2, on dit
sera
l4o GHAPITIIB XUI. — DE LA KACUTE GARBiB.
qu'on fait entrer le facteur 3 sous le radical. Au contraire, quand on remplace ^gXa par 3 ^, on Mlsortir le facteur du radical.
QUESTIONS PROPOSÉES
L Démontrer qu'un nombre entier terminé par un des chiffres 2, 3, 7, 8 ne peut être un carré parfait.
II. Démontrer que si un nombre entier terminé par 5 est un carré parfait, le chiffre des dizaines est 2.
III. Démontrer que si un nombre entier est un carré parfait, les exposants des facteurs premiers dont il est composé sont pairs, et réciproquement.
IV. Calculer les deux nombres ^2-4-^ et y a — ^ à o ,001 près chacun. Avec combien de décimales faut-il extraire la racine carrée de 3 dans chaque cas.
V* Démontrer que si une fraction est un carré parfait, le produit de ses deux termes est aussi un carré parfait, et réciproquement.
YI. Démontrer que tous les carrés impairs diminués d'une unité sont divisibles par 8. .
DE LA EACINB GIJBIOIJE. l4l
