EXTRACTION DE LA RACINE CUBIQUE D'UN NOMBRE ENTIER

190. Tous les nombres entiers ne sont pas dés cubes; aussi nous nous proposons seulement de trouver la racine cubique du plus grand cube entier contenu dans un nombre donnée L'excès du nombre donné sur le plus grand cube dont il s'agit est dit le reste de l'opération ; ce reste est zéro quand le nombre donné est un cube.

Lorsque le nombre donné est moindre que 1000 ou 10^, la racine demandée s'obtient par la simple inspection de la Table des cubes des 9 premiers nombres

I, 2, 3, 4> 5, 6, 7, 8, 9, qui sont

Veut-on, par exemple, la. racine pubique du plus grand cube entier contenu dans 487 ? Le nombre donné est compris entre 343 et 5i2; la racine de 343 est 7; par conséquent 7 est la racine demandée et le reste de l'opération est 487 — 343 ou 144*

Nous examinerons maintenant le cas où le nombre donné est supérieur à 1000.

191. Soit le nombre 43725658, et proposons-nous d'extraire la racine cubique du plus grand cube entier conteitu dans ce nombre.

Le nombre proposé étant plus grand que 1000, la racine demandée est supérieure à 10; en répétant ici le raisonnement que nous avons fait à l'occasion de la racine carrée, on prouvera que let nombre des dizaines de la racine demandée est égal à la racine cubique du plus grand cube entier contenu dans le nombre 43725 des mille de 43725658. Il faut donc chercher d'abord la racine du plus grand cubé contenu dans 43725.

Le nombre 43725 étant lui-nmême plus grand que 1060, la racine qu'il faut trouver est supérieure à 10; et, par le raisonnement déjà rappelé, on voit que le nombre des dizaines de cette

DE LA RACINE CUBIQUE. l43

racine est égal à la racine cubique du plus grand cube entier contenu dans le nombre 43 des mille de 43725. Il faut donc chercher d'abord la racine du plus grand cube contenu dans 43.

Le nombre 43 étant plus petit que 1000, la racine qu'il faut trouver n'a qu'un seul chiffre. On trouve (n*» 190) que cette racine est 3.

La racine du plus grand cube contenu dans 43725 renferme donc 3 dizaines; nous allons chercher le chiffre des unités de cette racine. L'excès du rfombre 43 sur le cube 27 de 3 étant 16, il est évident que, si Ton retranche de 43725 le cube de 3 dizaines, c'est-à-dire 27 mille, le reste contiendra 16 mille et 725 unités; il sera donc 16725. Or, en répétant encore ici un raisonnement déjà employé à l'occasion de la racine carrée, on,. prouvera que, si l'on divise le nombre 167 des centaines du reste 16725 par trois fois le carré du nombre des dizaines de la racine, c'est-à-dire par 3 X 9 ou 27, le quotient obtenu 6 est égal ou supérieur au chiffre des unités de la racine; donc la racine du plus grand cube contenu dans 4^725 est égale ou inférieure à 36. Pour reconnaître si le chiffre des unités de la racine est effectivement 6, il faut former le cube de 36 et voir si ce cube peut être retranché de 43725. En élevant 36 au cube, on trouve pour résultat 46656, nombre supérieur à 43725 ; on en conclut que le chiffre 6 est trop fort. Il faut alors essayer de la même manière le chiffre 5. En élevant 35 au cube, on trouve pour résultat 42875, nombre inférieur à 437?5. On en conclut que 35 est la racine cherchée.

Revenons maintenant au nombre proposé 43725658. Sa racine cubique contient 35 dizaines; nous allons chercher le chiffre des unités de cette racine. L'excès de 43725 sur 42875, cube de 35, étant 85o, il est évident que, si l'on retranche de 43725658 le cube de 35 dizaines, c'est-à-dire 42875 mille, le reste contiendra 85o mille et 658 unités; il sera donc 85o658. Or, par le raisonnement rappelé plus haut, on voit que, si l'on divise le nombre 85o6 des centaines de ce reste par trois fois le c^rré du nombre des dizaines de la racine, c'est-à-dire par 3 X 35* ou 3675, le quotient obtenu 2 sera égal ou» supérieur au chiffre des unités de la racine ; donc la racine demandée est égale ou inférieure à 352. Pour reconnaître si le chiffre des unités de la racine est effectivement 2, il faut former le cube de 352 et voir si ce cube peut être soustrait de 43725658. En élevant 352 au cube, on trouve pour résultat 43614208, nombre inférieur à 43725658; on en conclut que 352 est effectivement

l44 CHAPITRE XIV.

la racine du plus grand cube entier contenu dans le nombre donné. L'excès du nombre donné 437256S8 sur le cube 436 14208 de352est iii45o.

Voici le détail des calculs :

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io56