REMARQUE SUR LES RACINES EN GÉNÉRAL

192. En général, lorsqu'un nombre est une puissance d'un autre nombre, le second nombre est dit une racine du premier. Ainsi 32 étant la cinquième puissance de 2, ce nombre a est la racine cinquième de 32 ; 5 est le degré ou Y indice de la racine. Pour indiquer une racine d'un nombre, on place à gauche de ce nombre le radical sT dans l'ouverture duquel on écrit l'indice de la racine; ainsi yjZi représente la racine cinquième de 32; mais lorsqu'il s'agit d'une racine carrée, on se dispense d'écrire l'indice.

Les racines des nombres qui ne sont pas des puissances exactes d'un degré égal à l'indice sont des nombres incommensurables. Le calcul des valeurs approchées de ces racines se ramènerait immédiatement à l'extraction des racines des nombres entiers, ainsi que nous l'avons expliqué avec détails pour ce qui concerne les racines carrées. Mais l'extraction directe des racines de degré supérieur au deuxième n'est pas une opération pratique; c'est au moyen des logarithmes que cette extraction doit être effectuée, ainsi que nous le montrerons plus loin. Le but que nous nous sommes proposé, en traitant sommairement de la racine cubique des nombres entiers, est simplement de donner une idée de la généralisation des méthodes d'extraction des racines.

BB LA RACIRB GiniQITE. l45

193. Il est important de remarquer que Textraction d'une racine quatrième peut se ramènera l'extraction de deux racines carrées. Soit, par exemple, yâ. On a J^i x J^a X î^a x {^â == 2 ; il suit de là que 2 est le carré de v^âxv^a. On a ainsi

v/2 X v^ = v/2. Cela montre que ^ est le carré de ^2 ; donc on a {/â= VV».

On verrait de même que l'extraction des racines huitièmes, seizièmes, etc., se ramène à l'extraction de trois, dé quatre, etc., racines carrées. On peut de même ramener Texlraction d'une racine sixième à l'extraèlion d'une racine carrée et à celle d'une racine cubique.

Remarquons encore que, par un raisonnement identique à celui dont nous avons fait usage (n** 187), on établit les propositions suivantes :

Le produit des racines cubiques y quatrièmes, etc., de plusieurs nombres est égal à la racine cubique, quatrième, etc., du produit de ces nombres.

Le quotient des racines cubiques, quatrièmes, etc., de deux nombres est égal à la racine cubique, quatrième, etc., du quotient de ces nombres.

Pour multiplier une racine cubique, quatrième, etc., par un nombre, il suffit de multiplier le nombre qui est sous le radical par le cube, la quatrième puissance, etc., du nombre dont il s'agit.

QUESTIONS PROPOSÉES

I. Démontrer que si le reste de la division d'un nombre entier par 9 est 2, 3, 4, 5, 6 ou 7, ce nombre n'est pas un cube parfait.