DES RAPPORTS

194. On nomme rapport d'une grandeur à une autre grandeur de même espèce le nombre qui mesure la première grandeur lorsque la seconde est prise pour unité.

Si deux grandeurs sont multiples d*une même troisième grandeur, celle-ci est dite une commune mesure des deux premières.

Lorsque deux grandeurs ont été mesurées avec la même unité, on obtient leur rapport en divisant le nombre qui mesure la première grandeur par le nombre qui mesure la seconde.

En effet, supposons d'abord que les nombres qui mesurent les grandeurs dont il s'agit soient entiers, et qu'ils soient 25 et i8, par exemple. L'unité employée est alors une commune mesure des deux grandeurs et il est clair que la première

grandeur est égale aux -5 de la seconde. Par conséquent, si la seconde grandeur est prise pour unité, la première sera mesurée par le nombre -pa ce nombre exprime donc, d'après la

définition, le rapport de la première grandeur à la seconde.

Supposons en second lieu que les nombres qui mesurent

les deux grandeurs soient fractionnaires, et qu'ils soient j

et -• Si l'on réduit ces fractions au même dénominateur, elles

deviennent 7 et 7 — - : la fraction de l'unité égale à 7 r

est une commune mesure des deux grandeurs, qui est contenue 3x7 fois dans la première et 5 X 4 fois dans la seconde ;

il en résulte que la première grandeur est égale à ^ de la

seconde. Le rapport de la première grandeur à la seconde est

donc égal à 7 — -~> c'est-à-dire égal à 7 : -• ^ 4 X5 ^ 4 7

l48 CHAPITBE XV.

Le rapport de deux grandeurs étant égal au quotient des nombres qui mesurent ces grandeurs, on est conduit à nommer rapport d'un nombre à un autre le quotient du premier nom-

bre par le second. Ainsi le rapport du nombre 7 au nombre-

est-y^-, le premier nombre t est dit numérateur du rapport,

le deuxième nombre - est le dénominateur. Ces dénominations

sont naturelles : on a vu effectivement que les fractions ordinaires à termes entiers ne sont autre chose que des quotients ou des rapports.

Deux rapports sont dits inverses l'un de Tautre lorsque le numérateur de l'un est égal au dénominateur de l'autre, et ré-

ciproqûement. Ainsi -y^ et y^Z. sont des rapports inverses.

195. Un rapport ne change pas de valeur quand on multiplie ou quand on divise ses deux termes par un même nombre.

il) (i^-)

En effet, soient les rapports ^^ et VI — ^* D'après les

(f) iH)

règles du calcul des fractions, le premier rapport est égal à

/ 3Xa \

^^;le deuxième est égal k)^^ ou à J><^><-i^, 4X5' ^ / 5xa \ 4X9X5xai

OU enfin à T-rri' Par conséquent, les deux rapports sont

égaux* Il s'ensuit que le premier des rapports considérés

ne change pas quand on multiplie ses deux termes par -

ou, ce qui revient au même, que le second rapport ne change

pas quand on divise ses deux termes par - •

Il résulte de là que Ton peut réduire plusieurs rapports au même dénominateur par la règle employée pour les fractions

DES RAPPORTS ET BE LEURS USAGES. l^g

ordinaires à termes entiers. On voit aussi qu'on peut appliquer aux rapports les règles de l'addition et de la soustraction des fractions.

196. Pour avoir le produit de plusieurs rapports, il suffit de les multiplier termes à termes,

(-) ir)

Soient les deux rapports -j^ et -— ^ \ il s'agit de démon-

trer l'égalité

et pour cela il suffit de réduire chacun de ces nombres à la forme fractionnaire ordinaire, en faisant usage des règles relatives au calcul des fractions. On trouve ainsi que les deux nombres en question sont égaux l'un et l'autre à 7— rr .'

^ ^ 4x5xiiX2

Il est évident que pour diviser un rapport par un autre, il suffît de multiplier le rapport dividende par le rapport inverse du rapport diviseur.

. 197. Dans une suite de rapports égaux, la somme des numérateurs et celle des dénominateurs forment un rapport égal aux premiers.

En effet, considérons plusieurs rapports tous égaux à -•

Chaque numérateur vaut les - du dénominateur correspondant.

Donc la somme de tous les numérateurs est les - de la somme

des dénominateurs ; en d'autres termes, le rapport de la somme

des numérateurs à la somme des dénominateurs est égal à -•

Remarque, — On ferait voir de même que si deux rapports sont égaux, la différence des numérateurs et celle des dénominuteurs forment un rapport égal aux premiers.

198. Quand deux rapports sont égaux, on obtient des résultats égaux en multipliant le numérateur de chacun d*eux par le dénominateur de l'autre.

l5o CSAPITEB XV.

Soient les deux rapports égaux —- et tcT' En les réduisant

au même dénominateur^ ils deviennent

(fxf)' ax?)'

ces deux rapports égaux ayant le même dénominateur^ les nu* mérateurs sont égaux. On a donc

DES GRANDEURS QUI VARIENT DANS LE BIÊMB RAPPORT OU DANS UN RAPPORT INVERSE.

199. Lorsque deux grandeurs varient simultanément et de telle manière que deux valeurs quelconques de te première grandeur soient dans le même rapport que les valeurs corres^ pondantes de la seconde, on dit que les grandeurs dont il s'agit sont proportionnelles Tune à l'autre, ou qu'elles varient dans le même rapport.

Ainsi le salaire d'un ouvrier est proportionnel à la durée de son travail.

L'espace parcouru par un corps qui se meut avec une vitesse constante est proportionnel à la durée du mouvement.

La longueur de la circonférence du cercle est proportion* nelle au diamètre.

Dans les exemples précédents, comme dans tous ceux que nous citerons dans ce chapitre, nous admettons la proportionnalité des grandeurs considérées comme un fait connu ou résultant d'une convention* La démonstration de cette proportionnalité n'est pas du ressort de l'arithmétique ; elle appartiendrait, dans chaque cas, à la science qui traite des grandeurs que l'on considère. Nous croyons cependant devoir indiquer une proposition qui permettra souvent de s'assurer que deux grandeurs sont proportionnelles l'une à l'autre.

Lorsque deux grandeurs sont telles, que, si l'une d'elles devient un certain nombre de fois plus grande ou plus petite, l'autre devienne le même nombre de fois plus grande ou plus

DES RAPPORTS R HB êXXJUS USAfiES. l5i

petite, ces deux grandeurs sont proportionnelles l'une à l'autre.

En effet» supposons qu'on faêse varier la première grandeur dans le rapport de 5 à 7, c'est-à-dire de manière que ie rapport de la nouvelle valeur que prend cette grandeur à la valeur pre-

mière soit -; je dis que la seconde grandeur variera aussi dans

le rapport de 5 à 7. Pour le prouver, remarquons que, par hypothèse, la seconde grandeur devient 5 fois plus grande quand on rend la première 5 fois plus grande ; les deux grandeurs dont il s'agit se trouvant Tune et l'autre multipliées par 5, si l'on rend la première 7 fois plus petite, la seconde deviendra ausài 7 fois plus peiite. Dans ce nouvel étal, chaque grandeur se

trouve réduite aux - de sa valeur primitive ; donc les deux

grandeurs considérées ont varié l'une et l'autre dans le rapport de 5 à 7.

200. Lorsque deux grandeurs varient simultanément et de telle manière que le rapport de deux valeurs quelconques de la première grandeur soit l'inverse du rapport des valeurs correspondantes de la seconde, on dit que les grandeurs dont il s'agît sont inversement proportionnelles l'une à l'autre ou qu'elles varient dans un rapport inverse.

Ainsi, le temps nécessaire à l'accomplissement d'un certain travail est inversement proportionnel au nombre des ouvriers employés.

Le temps employé pour parcourir un espace donné, par un corps qui se meut d'un mouvement uniforme, est inversement proportionnel à la vitesse.

La force en vertu de laquelle la terre et les autres planètes se meuvent dans leurs orbites est inversement proportionnelle au carré de leur distance au soleil.

La proposition suivante permet, dans bien des cas, de s'assurer que deux grandeurs sont inversement proportionnelles l'une à l'autre.

Lorsque deux grandeurs sont telles, que, si l'une délies devient un certain nombre de fois plus grande ou plus petite, Vautre devienne le même nombre de fois plus petite ou plus grande, ces deux grandeurs sont inversement proportionnelles l'une à Vautre.

Supposons qu'on fasse varier la première grandeur dans le

l52 CHAPITaB X¥.

rapport de 5 à 7, je dis que la seconde grandeur variera dans le rapport inverse de 7 à 5. En effet, si la première grandeur de--

vient 5 fois plus grande, la seconde se réduit à 7 de sa valeur;

cela étant, si la première grandeur est réduite à - de sa nou-

velle valeur, la seconde grandeur devient 7 fois plus grande.

Dans ce nouvel étal, la première grandeur est réduite aux ~

de sa valeur primitive et la seconde grandeur aux ^ de sa première valeur; donc les grandeurs ont varié dans un rapport inverse,

201, Il est rare qu'une grandeur dépende exclusivement d*une autre grandeur; plusieurs éléments concourent le plus souvent à déterminer sa valeur. Par exemple, le poids d'une barre de métal dépend à la fois de sa longueur, de sa largeur, de son épaisseur et de la densité du métal.

Lorsqu'une grandeur dépend ainsi de plusieurs autres, si Tondit qu'elle est proportionnelle ou inversement proportionpelle à l'une des grandeurs dont elle (Jépend, on sous-entend que les autres Cléments qui la déterminent sont alors considérés comme invariables.

Par exemple, si l'on dit : le poids d'une barre métallique est proportionnel à la densité du métal, on sous-entend que les dimensions de la barre sont considérées comme invariables.

DES QUESTIONS QUI SE RAPPORTEKT AUX GRANDEURS PRO- PORTIONNELLES OU INVERSEMENT PROPORTIONNELLES.

202. Les questions dont nous allons nous occuper peuvent être énoncées généralement de la manière suivante :

1° Connaissant des valeurs simultanées de deux grandeurs proportionnelles ou inversement proportionnelles y trouver la vcileur de la première grandeur qui correspond à une nouvelle valeur donnée de la seconde.

a<* Connaissant des valeurs simultanées d'un nombre quelconque de grandeurs proportionnelles à l'une d'entre elles, trouver la valeur que prend celle-ci quand on donne de nouvelles valeurs à toutes les autres grandeurs.

Nous allons présenter quelques exemples.

.203. Problème I. — Une manufacture a consommé 37000

BES RAPPORTS BT DK LBURS USAGES. 1 53

kiloffrwnmes de charbon pour produire 26700 kilogrammes de porcelaine. Combien brûlera-t-^lle de charbon pour produire 75350 kilogramm^es de porcelaine P

Les grandeurs qui figurent dans cette question sont la quantité ^ porcelaine fabriquée et la quantité de charbon brûlé; nous supposerons ces grandeurs proportionnelles.

Pour résoudre la question proposée, on dira : puisque

pour produire 26700"* de porcel., il a fallu 37000*^" de chsM^b.,

pour ï il faudra -^ • ;

donc pour. . . 75370 il faudra -^ X 7535o . . .

Ainsi le nombre de kilogrammes de charbon demandé est

3^X75350 ou 37000 X^.

c'est-à-dire 104417961 à 0,01 près.

Remarque. — Le nombre demandé qui exprime la valeur de la première grandeur (la quantité de charbon brûlé) dans son second état, est égal, comme on le voit, au nombre qui ex^ prime cette même grandeur dans son premier état, multiplié par le rapport des valeurs que prend la seconde grandeur (la quantité de porcelaine fabriquée) dans son deuxième et dans son premier état. Cette remarque permet de résoudre immédiatement les questions du genre de celles que nous venons de traiter, sans qu'il soit besoin de refaire les mêmes raisonnements.

204. Problème IL — Il a fallu 8 heures à 12 ouvriers pour faire un certain ouvrage. Combien 1 7 ouvriers mettront-ils de temps à faire le même ouvrage?

Ici les grandeurs considérées sont le temps nécessaire pour faire un certain ouvrage et le nombre des ouvriers qui y sont employés. Nous supposerons ces grandeurs inversement proportionnelles.

Pour résoudre la question proposée, on dira :

Puisque 12 ouvriers emploient 8 heures, I ouvrier emploiera 8x 12 heures;

Par suite 17 ouvriers emploieront heures;

le nombre d'heures demandé est donc ou 8x — •

l54 GHAPmB XV.

Remarque, — Le nombre demandé qui exprime la valeur de la première grandeur (le temps employé) dans son second état est égal, comme on voit, au nombre qui exprime cette même grandeur dans son premier état, multiplié par l'inverse du rapport des valeurs que prend la deuxième grandeur (le nombre des ouvriers) dans son second et dans son premier état.

205. Problème III. — // a fallu g6 heures à 35 ouvriers pour élever un mur qui a i5 mètres de longueur, 4">^^ ^^ hauteur et o™>75 d'épaisseur. Combien 4^ ouvriers emploieront-ils de temps pour élever un mur ayant ig mètres de longueur, 3 mètres de hauteur et i"*,2o d'épaisseur?

Nous supposons ici que le nombre d'heures de travail soit •proportionnel à chacune des dimensions du mur et inversement proportionnel au nombre des ouvriers.

Par hypothèse, Il faut 96 heures à 35 ouvriers pour élever

im mur dont les dimensions sont i5 mètres, 4'°>5o et o'°,75

respectivement; donc, pour élever le même mur, 4^ ouvriers

emploieraient un nombre d'heures égal à 96 Xt- (n" 204,

Remarque), car le nombre d'heures de travail est inversement

proportionnel au nombre des ouvriers. Ainsi, il feut 96 X 7-

heures à 4^ ouvriers pour élever un mur ayant i5 mètres de longueur, 4™,5o de hauteureto", 75 d'épaisseur. Le nombre d'heures de travail étant proportionnel à la longueur du mur, si cette longueur est portée de i5 à 19 mètres, le nombre

d'heures sera multiplié par -2 (n*» 203, Remarque). Donc il

35 iQ faut 96 X 7- X -§ heures à 4^ ouvriers pour élever un mur

ayant 19 mètres de longueur, 4™,5o de hauteur et ©",75 d'épaisseur. On voit de même que, si l'on porte successivement la hauteur du mur de 4°'j5o à 3 mètres et l'épaisseur de o°*,75 à o",2o, le nombre d'heures de travail se trouvera multiplié d'abord par 7-7- > puis par "-^' Donc, pour élever un

mur ayant 19 mètres de longueur, 3 mètres de hauteur et

i" ,20 d'épaisseur, 4^ ouvriers emploieront un nombre d'heures

, , , ^ 35 iQ 3 1,^0 , , ,. ^ 4, égal a 96 X 7- X -? X t-f" X -^j c est-a-dire 1 08 h- -~ heures. " ^ 4^ «5 4>5o 0,70 45

DES RAPPORTS KV RB LBVES USAGES. l55

Remarque I. — On voit qae généralement^ dans les questions du genre de la précédente, le nombre demandé qui exprime la valeur d'une première grandeur dans son second état, est égal au nombre qui exprime cette même grandeur dans son premier état, multiplié successivement par les rapports des valeurs que prennent les autres grandeurs dans le deuxième et dans le premier état, ou par ces mêmes rapports renversés. L'un^des rapports dont il s'agit doit être renversé quand la grandeur qui lui correspond est inversement proportionnelle à la première grandeur.

Remarque II. — La règle qui sert à résoudre les problèmes du genre de ceux que nous venons d'étudier, est quelquefois désignée sous le nom de règle de trois. La méthode dont nous avons fait usage pour établir cette règle est dite méthode de réduction à l'unité.

DES INTËRÊTS SIMPLES.

206. Vintérét d'une somme d'argent ou d'un capital est le bénéfice que se réserve celui qui prête ce capital. Ce bénéfice est proportionnel à la somme prêtée ; il dépend, en outre» du temps pendant lequel on la prête, et d'un troisième élément, nommé taux de l'intérêt ^ qui est l'intérêt dont on est convenu pour une somme de loo francs placée pendant un an.

On dit que llntérêt est simple lorsqu'il est proportionnel à la durée du placement.

Les problèmes auxquels donne lieu la considération des intérêts simples appartiennent à la classe de ceux que nous venons d'étudier et ils peuvent tous se résoudre à l'aide d'une règle générale que nous ferons connaître.

Nous commencerons par indiquer la manière de calculer l'intérêt que rapporte*, au bout d'un certain temps, un capital placé à un taux donné.

Problème L — On demande l'intérêt d^une sommée de ii3^o francs, prêtée pendant 7 mois au taux de 4 pour 100 par an.

Cet énoncé peut être remplacé par le suivant :

100 francs produisent 4 francs d'intérêt en 12 mois; combien 2340 francs produiront-ils en 7 mois?

L'intérêt du capital étant proportionnel à ce capital, au taux convenu et à la durée du prêt, la solution de la question proposée est contenue dans la Remarque I du n*» 205. On trouve

l56 CBAPITEB XV.

ainsi que rintérèt demandé est égal à

4 X ^-^ X — francs.

lOO 12

c'esl-à-dire égal à 54'', 6o.

On peut résoudre directement la question proposée, en raisonnant comme il suit :

I" Puisque loo francs rapportent .... 4 francs en 1 2 mois,

I franc rapportera -^ »

donc 2340 francs rapporteront . . -^ X 2340 »

2» Puisque 2340 francs rapportent 4 X ^-^ francs en 12 mois,

ils rapporteront 4 X — ^ X — fr. en i mois ; '^'^ ^ 100 12

donc ils rapporteront 4 X ^-^ X — fr. en 7 mois.

• 207. Formule générale donnant la solution de toutes les questions relatives aux intérêts composés, — Nous allons considérer de nouveau le problème que nous venons de résoudre au numéro précédent; mais, afin que la solution se présente avec un plus grand caractère de généralité, nous représenterons par une simple lettre chacune des quantités qui figurent dans la question, ainsi qu'on a Thabilude de le faire en algèbre.

Soient donc a le nombre de francs qui composent le capital donné, t le nombre entier ou fractionnaire d'années qui exprime la durée du prêt, r le taux de l'intérêt, enfin i l'intérêt du capital a.

Si l'on veut calculer l'intérêt i en supposant connues les quantités a, r et /, on dira :

1" Puisque 100 francs rapportent. . r francs en i an,

î franc rapportera. . . — francs en i an;

donc a francs rapporteront — X a francs en 1 an ;

l'intérêt de a francs en i an est donc — X a ou — r-*

DBS RAPPORTS ET DB LBVRS USAGES. l5^

a» Puisque a francs rapportent. . . . francs en i an,

ils rapporteront X / francs en t ans;

tfXr <iXrX^ Finiérêt demandé est donc x t ou Ainsi Ton a

lOO lOO

^ ' lOO

Cette égalité est ce que Ton nomme en algèbre une formule. Cette formule donne immédiatement la solution de toutes les questions relatives aux intérêts simples. Par exemple, pour avoir la solution du problème du n"* 206, il suffira de remplacer, dans notre formule, a par 2340, r par 4 et ^ par — .

On tire de la formule (i)

ïXioo = axrX^;

si Ton divise de part et d'autre, d'abord par ax t, puis par rxt, puis par a X r, on obtient

208. Les formules (a), (3), (4) ne sont autre chose que la formule (i) écrite d'une autre manière. Au moyen de ces qua* tre formules, on peut calculer Tune quelconque des quantités a, r, t, I, quand on connaît les trois autres. Nous allons donner des exemples.

Problème II. — Une somme de 3'jSq francs a rapporté 7 19'', 25 en 2 ans et 6 m^is. On demande quel est le taux de t intérêt.

Ici l'on a

a=r375oiy « = 719,25, /=:2 + ~ = -,

l58 CHAPITEB XV.

L'inconnue r sera donnée par la formule (2); on trouve ainsi 719,25x100 2877 ^

Le taux demandé est de 7'^ 672 pour loo.

Problème IIL — £//i certain capital prêté pendant 2 eais et 3 mois au taux de 6 pour 100 par an a produit 1 3i 2''', 65 dUntérét. On demande la valeur de ce capital.

On a

L'Inconnue a sera donnée par la formule (3) ; on trouve ainsi

Le capital demandé est 97^3^% 33 à un centime près.

Problème IV. — Un capital de ^^000 francs prêté pendant un certain temps au taux de 6 pour 100 par an, a produit un intérêt de io32oo francs. On demande la durée du prêt.

On a

a =: 4^0000, i = io32oo,- r=6.

L'inconnue / sera donnée par la formule (4)' Oi^ trouve ainsi

io32ooxioo 3 ri.

le temps demandé est donc de 3 ans et 7 mois.

209. On peut avoir à résoudre des quêtions dans lesquelles figure» au lieu de Tintérèt, la valeur du capital placé augmenté de son intérêt. Nous allons en donner un exemple.

Problème. — Quel capital faut-il placer au taux de 5 pour 1 00 par an, pendant 3 ans et 9 mois, pour avoir une somme de '^800 francs, intérêt et capital réunis?

La question proposée n'est pas du genre de celles qui dépendent immédiatement de la règle de trois, mais on peut cependant la résoudre très-aisément par le moyen de cette règle.

Remarquons d'abord qu'un capital de 100 francs placé pendant

DBS BAPPOETS BT PB UCUBS USAGES. | Sg

3anS9 mois, au taux 5, produit un intérêt égal à 5x (3+—)

francs, c'est-à-dire égal à 18'', 76; le capital et son intérêt donnent donc une somme de •! 18^', 75. D'après cela, la question proposée se trouve ramenée à la suivante :

Sachant qu'il faut placer 100 francs à un certain taux et pendant un certain temps pour avoir n8^',75, quelle est la somme qu'il faut placer au même taux et pendant le même temps pour avoir ^600 francs.

Réduite à ces termes, la question se résout immédiatement par la règle du n*" 203, et l'on trouve que le capital cherché est

loo^'X-^ô— ? ou ioii^^, 10 à un centime près. 118,75 -r T ' r