dii

ou bien 72 i: 24 î 72 :: 45 di i5 : 45.

On peut donc dire aussi que , dans toutç proportion , la somme ou la différence des deux premiers termes esiaupre» mier terme, comme la somme ou la différence des deux der-^ mers est au troisième, énoncé qu'il serait fsicile de comprendre en un seul ave^ l'énoncé ci-dessus.

^ 210. SEGofiDfi PROPaiigTÉ. — Dans toute proportion, la somme ou la différence des antécédents est à la somme ou à la diff^ rence des conséquents , comme un quelconque dcf antécédents est à son conséquent.

Reprenons la proportion ci-dessus , 72 : 24 • ! 45 * 1 5 , et changeons les moyens de place ; il vient

Or, rien n'empêche d'appliquer à cette nouvelle proportion la propriété du numéro précédent ; et l'on aura

72 dz 45: 45 :: 24=bi5: i5,

ou , changeant les moyens de place ,

72 ±: 45 : 24 ±: i5 :: 45 : i5, ou :: 72 : 24.

Cette proportion , énoncée en langage ordinaire , et comparée à la proportion 72 : 24 !: 45 1 1 5, démontre évidemment la propriété ékioncée.

Si, dans laproportion 72 31 45 • 2.^^ i5 :; 45 : i5, on considère d'abord les deux signes supérieurs , puis les deux signes inférieurs, on en déduit successivement

itàb rtonittf»

d'où , A caïue du rapport commun ,

73 + 45 : 34+ >5 :: ^^ — 45 :34 — iS ,

ou bien , en cbangeanl les moyeus de pUce ,

c'eit-i-dire que, daa> toute proportion , ta somme des aniécédenuett à leur différence, comme la somme des conséqueaU est à leur différence,

SU. ConSÉQOEHCES DE CETTE PBOPKiËTi. — 1°. Soit une soiu de nombres d, b,c,dfe,f, g,h, i,k^ . . , tels que l'on ail

a'.b\:e:d.:e:f:.gxh:;i:k...,

je dis que , dans cette suite de rapports égaux , la somme de tous letaMécédentSK, c, e,c, i,. .. est à la somme de Ums les ccnsiguetus b , d , f , II, k, . . . comme un aniécédent quelconque est à son conséquent.

En efiêt , 1« deux premiers nipports al6 II cl d

donnent, en vertn de U

propriété précédente,. . a-^■clb•^-d',',c:d•,

■nais, comme on a c td n e ij",

il en rétulle a + c:b + d:: e-./i

d'où , appliquant k cette nouvelle proportion, la

même propriété a+c + eib+d +/: : c ;/;

maisonâencote e.f.-.g-.h,

donc o+e+« :*+</+/:; g^: A;

et par conséquent A + c + e+^: b+d+f-\-h','.g'.ii,

et ainsi de suite , quel que soit le nombre do ra[^rts é^gaa.

a*. Soient deux fractions ^ales, — , - ; si l'on fait ta ** ' la 3 "^

somme des numéraieun et celle des dénominateurt , il tn uUe une nouvelle /raeiion, —=, égale à ckacune desfiac^ proposées.

DES PRO^ftTlONS. a&l

En effet, régalité-^= ^, revientàlaproportion8:i2::2:3; d'où , en appliquant la propriété ci-dessus ,

donc --5 =--=-.

II en serait de même si l'on taisait la différence des numérateurs et celle des dénominateurs.

Les transformations qui se rapportent aux propriétés précédentes, se désignaient autrefois par les mots addenda et suùsiraJiendo.

Sifi. Troisième propriété. — Si ton a un nombre quelconque ^proportions, et qu'après les ai^oir placées les unes au^deS"* sous des autres , on les multiplie par ordre, les produits ré' sultants seront encore en proportion^

Soient , par exemple , les trois proportions

il résulte d'abord de leur définition, qu'elles peuvent être

écrites ainsi :

Gela posé , si l'on multiplie ces égalités membre a membre , il en résultera nécessairement des produits égaux. Or, en ef*< fec tuant cette opération d'après la règle de la multiplication des

fractions {vojrez n^ »9), on a l^ ^ >< ^^ = 'J^^f^^ d'où 3X7X4o:8xi5xi2::i2X28x5o:32x6oXi5,

362 PROniÉTÉS

ou, cfiecluant les calculs ,

On peut facilement constater l'exactitude de cette dernière proportion : car en divisant les deux derniers termes successivement par 10 et par 2, on trouve

proportion e'vidente, qu'on appelle proportion identique.

N,B, — Il est à remarquer que y d'après la nature des opérations qui viennent d'être effectuées , le rapport commun de la

proportion précédente ^ savoir ^ ■ , est égal au produit

des trois rapports des proportions données.

Ainsi , les trois rapports étant y comme il est facile de le vérifier, g, --Ly "Yf onapoijrleur produit, ^75-» ou, en sup-

primant le facteur 3o commun aux deux termes, —, résultat

auquel la fraction -^- peut être réduite par la suppression du facteur commun 120.

Ce rapport , -^ , qui provient de la multiplication de plusieurs autres rapports , est appelé par les arithméticiens , rapport composé.

L'opération qui a fait l'objet de la propriété précédente, se désignait autrefois par le mot componendo.

SIS. Conséquences de cette propriété. — i*. Lorsque quatre nombres sont en proportion, les carrés , les cubes, et en géné^ rai leè puissances semblables de ces nombres , sont aussi en proportion, ^

Pour nous rendre compte de cette conséquence , il suilii d'observer que, d'après la propriété précédente, plusieurs:

DES P|lOPOJlTlON5. 26S

proportions semblables , luultiplk'es par ordf e y tionnaraiewt

lieu à des produits «o proportion.

a°« Reciproqu^meut y (ofsque quatre nombres swti en pro^

portion, les racines carrées , cubiques , quatrièmes, , .. deees

nombres^ sont en proportion.

a c Soit la proportion a * b II c l d , ou t= ;j.

a * c Paisque les deux rapports r» ;^> sont égaux, les racines car-

Mais, pour extraire la racine carrée d'une fraction , il faut {n? 187) extraire la racine carrée du numérateur et celle du dénominateur^ ce qui donne

/a __ \/a le j/c

Mb— x/V V d— k/a'

Vb ^ ^ \/d

donc -^sî^, ou bien, \/â : \/b:: \/c: l/5.

Le raisonnement serait le même pour la racine cubique , ou pour une racine de degré quelconque , en partant de ce prin^ cipe général, qnepour e;vtraire une racine de degré qnelcon^ que tt une fraction, il faut extraire la racine du numérateur et celle du dénominateur.

5114. Remarque, -^ Lorsque les nombres a, b^c^d, ne sont pas

descarAffj9a/^z/5, les quantités f/â, i/b,{/Cy^dy sont des nombres irrationnels; et la proportion ci-dessus ^a lieu alors entre des nombres incommensurables; c'est«à<^ire que ro#est conduit à considérer des rapports entre des nombres incoinlaensmcables , rapports^ qui, en général , sont eux-mêmes îrratÂQWieh ; et il «'«girait de savoir si l'on peut attt ibucr à des proportions de cette espèce toutes les propriétés qu» ont été établies précédemment.

Pour reconnaître que la réponse est affirmative, il suffit de se rappeler ce qui a été dit précédemment (n*^ 1811 et iW), qu^nn

■ ùa

9tf4 "E L* lieu: BE TROIS.

nombre irralionnel peut toujoara être remplacé , meiUalemenl, par un nombre fractionnaire exact qnî ne diSh:« da nombre proposé qn« d'ane quantité aiuai petite que l'on veut , et qui , par conaéquent , peut être prise tellement petite , qu'on ne doive aToir aucun égard à l'erreur que l'on commettrait en Dégligeant cette quantité; et c'est alors entre les nombres commensurables substitues aux grandeurs irrationnelles, que les rapports sont censés établis.

Quant aux rapports entre des nombres fractionnaires exacts, il est aisé de reconnaître , d'après la règle de la division des fractions, qu'ils peuvent toujours être remplacés par des rapports entre des nombres entiers.

Par exemple , le rapport de - à — étant le quotient de la

dinsion de - par — ■, est égal ( n' 6S] à - X -s-> ou à ^,

c'est-à-dire au rapport de 33 à 35.

De même , le rapport de 2 à ~9 ^' ^^' ^ R ^ ~^ ' ^^ '*''^'' au rapport dé i6i i i30.

Ainsi, toutes les propriétés démontrées précédemment sur les proportions, en supposant que les termes fussent des noiu' bres entiers, ont toujours lieu, quelle que soit la nature de ces termes.

^i\.Dc la Règle de Troit et Jet Bkgie* qui en dépendeal.