Il
Pareillement , dans Téqui-diflerence
3i . 25 : x. 78, on a :r-|- 25 = 3i + 7«-
d'où x = 3i + 78 — 25 = 84,
et par conséqilènt, 3i . 25 : 84 . 78.
903. Quelquefois, on est conduit à considérer une équi-différence dont les deux moyens sont égaux ; elle s'appelle alors une équi'différence continue {ou proportion arithmétique continue).
Par exemple,
est une équi-différence continue.
Comme, dans ce cas, le double de Tun des moyens doit, en vertu de la propriété ci^lessus , être égal à la somme des
9ES ÉQUt-DIFPÉREKCES. 2^3
extrêmes I il s'ensuit que ce mqjren est égala la demi^somme des deux extrêmes.
Ainsi y dans réqui-différence
on a X ss ^^ se 36.
Cette valeur de x est ce qu'on appelle un mqyen dijffëreniiei (ou un moyen proportionnel arithmétique) entre les deux nombres 23 et 49*
804. Voici quelques autres propriétés dès équî--différences t . On peut augmenter les deux antécédents ou les diminuer, augmenter les deux conséquents ou les diminuer, augmenter soit les deux premiers termes , soit les deux derniers, ou les diminuer d*un même nombre, sans que l'équi - différence cesse d'exister.
£n effet, il est évident que, par ces diverses transformations, on augmente ou l'on diminue d'un même nombre la somme (ies extrêmes et celle des moyens ; ainsi , l'égalité des deux sommes n'est pas troublée ; et il en est de même de TéquidilTérence , en vertu de la réciproque de la propriété fonda* mentale.
On peut également inten^ertir l'ordre des deux extrêmes , celui des deux moyens, ou bien mettre les moyens à la place des extrêmes, sans troubler l'équi-différence; car il est évident qu'après ces mutations , la somme des extrêmes est encore égale à celle des moyens.
En général , toute transformation exécutée sur une équi«difTéreace, et telle que la somme des extrêmes reste égale à la somme des moyens , ne détruit pas l'équi-différence.
Mais il est inutile d'insister davantage sur les propriétés des <^qtti-différences , parce qu'elles sont de fort peu d'usage.
Passons aux propriétés des proportions proprement dites , ou autrement, des proportions géométriques.
Afith. A. l8
274 PROPHltrÉS
Des Proportions.
fiM. On entend (n^MS) ^t proportion, l'expression de l'égalité de deux rapports ou quotients^
Lorsque quatre nombres sont en proportion , le rapport commun qui existe entre les deux premiers termes et entre les deux derniers y peut être, ou un nombre entier, ou un nombre fraciionnaire , ou une fraction proprement dite.
Soient , par exemple , les proportions
la : 9 :: 36 : 47,
Dans la première , le rapport commun est 3 ; dans la se*
conde, on a — = — = ^ ; donc le rapport commun est un ' 9 27 3
nombre essentiellement fractionnaire.
Enfin , dans la troisième , on a -rg = — > en supprimant le
facteur L commun aux deux termes; ainsi la fraction — est le
rapport commun.
Propriété fondamentale. — Dans toute proportion, lepro^ duit des extrêmes est égal à celui des mojrens.
£n effet y cette propriété serait évidente , si , au lieu d'une proportion telle que
on en avait une dont les antécédents fussent égaux à leurs conséquents, si l'on avait, par exemple,
Or, pour ramener la première proportion à cet état, ilsuflit évidemment de multiplier cbaque conséquent par le rapport commun 3 ; mais, par cette multipUcation, l'un des moyens et
DES PRÔPOHTIONS. 1*;Ô
l'un des extrêmes sont multipliés par un même nombre ; àiiisi^, il en est de même du produit des extrêmes et du produit des moyens; et, puisque alors ]esdeux produits résultants sont égaux y les produits primitifs Té taic^nt aussi. C^ Q. F. D.
Observons d'ailleurs que, si les quatre nombres donnés ne formaient pas une proportion , il faudrait, pour rendre les conséquents égaux à leurs antécédents, multiplier ces conséquents chacun par un nombre différent qui exprimerait le rapport du premier terme au second, ou du troisième terme au quatrième; et comme, après cette multiplication, le produit des extrêmes deviendrait égal à celui des moyens, il en résulte qu'avant la multiplication , les deux produits n'étaient pas égatu.
D'où l'on peut conclure que si quatre nombres, énoncés ou écrits dans un certain ordre, sont en proportion, le produit des extrêmes est égal à celui des moyens.
Réciproquement, si le produit des deux termes extrêmes est égal à celui des moyens, les nombres forment une proportion dans r ordre ou ils sont énoncés ou écrits. Car, s'il n'y avait pas proportion entre ces quatre nombres , on vient de voir que le produit des extrêmes ne serait pas égal à celui des moyens, ce qui serait contraire à la supposition établie.
Appliquons les notations algébriques à la démonstration de cette propriété et de sa réciproque.
Soient quatre nombres a,b,c,d,en proportion , c'e^t-à-^dii e tels qu'on ait a lu il c l d, oUy ce qui revient au même,
Multiplions les deux membres de cette égalité par bd ; il
abd cbd ^
ou , réduisant , ad =z bc.
Donc le produit des extrêmes, ad^ est égal au produit des moyens, bc.
Réciproquement , soient quatre nombres a , b^c^d, tels que
%'j6 PROPftlélfS
Vpti ait « X rf == ^ X c ;
divisons les deux meiiibres de cette é{;alité par 6 X </; il
aXd bXc
vient
ou, en supprimant les facteurs communs, j = ~, c'est-à-dire
Donc £09 quatre nombres forment une proportion dont les extrêmes sont les facteurs de l'un des deux produits, et dont les moyens sont les facteurs de Vautre,
906. Conséquence. — De cette propriété' fondamentale il résulte que, connaissant trois termes d'une proportion, on doit, pour obtenir le quatrième, si c'est un extrême , diviser le jjroduit des moyens par l'extrême connu; et, si c'est un moyen, diviser le produit des extrêmes par le moyen connu.
Ainsi, soit la proportion 18 : 24 •• 72 t Xj
comme on a 18 X ^ = 24 X 72,
il en résulte x = — — s-^ = 06 ;
ce qui donne 18 : 24 II 72 : 96.
5M>7. Il peut arriver que les deux moyens d'une proportion soient égaux entre eux , comme dans celle-ci :
la proportion est dite alors une proportion continue. Dans ce cas , le produit des deux moyens devenant le carré de chacun d'eux, il s'ensuit que ce carré est égal au produit des exlrèmes ; donc chacun des mqyens a pour valeur la racine carrée du produit des extrêmes.
Soit, par exemple, la proportion 5o l x il xl 8, r étanl le moyen terme inconnu d*nne proportion continue; on a
a:* = 5o x8 = 4oo,
DES PnOPORTiOft'S. 277
d*où Ton déduit j:= 1/400 = 20; ce qui donne 5o : 20 :: 20 : 8.
En général , soit la proportion al x II xl à) \i en résulte
j:* = a X 6 9 d'où x = (/a X ^* Cette valeur de x est ce qa'on appelle un mojren proportionnel entre les deux nombres a et b.
208. Autres propaiétés. — On peut multiplier ou diviser les deux premiers termes, ou les deux derniers, par un mém^ nombre, sans altérer la proportion.
En effet , le rapport des deux premiers ternies j ou celui des deux derniers , n'est autre cbose (n® 198) que le quotient d'une division dont le dividende est Tantécédent , et le diviseur le conséquent; et l'on sait qu'en multipliant ou divisant les deux termes d'une division par un même nombre , on ne change pas la valeur du quotient.
On peut également multiplier ou diviser les deux antécédents, multiplier ou diviser les deux conséquents, par un même nom^ bre, sans altérer la proportion.
Car, par ces transformations , on multiplie ou Ton divise à la fois l'un des extrêmes et l'un des moyens par un même nombre ; donc le produit des extrêmes reste toujours égal à celui des moyens. Or, d'après la réciproque de la propriété fondamentale, c'est une condition suffisante poujr que les quatre nombres soient en proportion.
On peut encore , comme dans l'équi-différence , intervertir V ordre des extrêmes d'une proportion et celui des moyens, os bien , mettre les extrêmes à la place des moyens, sans que la proportion cesse d'exister entre les quatre termes.
Pac exemple, de la proportion CD déduit alternativement ;
I®. en échangeant les extrêmes. . .
2^. en échangeant les moyens. . . .
3®. en mettant les moyens à la place des extrêmes 12
278 PROPRIJÉTÉS
Le rapport commun est différent d'une proportion à l'autre ; ainsi ce rapport est 3 dans la première, — dans la seconde,
-s dans la troisième, et r? ou«z dans la quatrième. Mais chaque proportion n'en existe pas moins , puisque , après ces muta" fions y il est évident que le produit des extrêmes reste toujours ^al à celui des moyens.
A^ B, — Les anciens auteur;; de Géométrie désignaient par les dénominations de altcmando et invertendo, les diverses mutations que Ton fait éprouver aux termes d'une proportion.
Les transformations qui consistent à multiplier ou diviser les termes, s'appelaient multiplicando ou dtvidendo.
Les propriétés suivantes sont d'un usage continuel en Géométrie, et méritent toute l'altention des commençants.
SW. Première propriété. — Dans toute pix>portion, la somms ou la différence des deux premiers termes est au second terme, comme la somma ou la différence des deux derniers est au quatrième.
Ainsi, dans la proportion 7a : s4 •• 4^ • '^^
on a, en ajoutant, 72 + 24 * ^4 •• 4^'4~ ^^ • '^f
et en soustrayant, 72 — 24 • 24 I. 4^ — |5 ; i$»
proportions que Ton peut vérifier facilement .
Pour nous rendre compte de cette propriété d'une manière générale, observons qu'en augmentant ou diminuant cbaque antécédent, de son conséquent , on ne fait qu'augmenter ou dinùnuar d'une umlé, chacun des deux rapports ; et puisque les rapports primitifs étaient égaux , les rapports résultants le sont aussi.
De la proportion 72 d: 24 I ^4 *• 4^ ^ i^ ^ ^^
( db se prononce p&f ou moins) , on déduit, on changeant les moyens de place (n*^ 208),
7?. ±: 24 : 45 dt i5 :: ^4 ^ *5i
DES PiOFORTIONS. 9iJÇ
mais on a déjà 72 ; 24 *t 4^ l tS,
oubien, 72 : 45 t. ^4 : i5;
donc, comme deux nombres égaux à un troi9ièM« son! necet** sairsment égaux entre eux , il s'ensuit encore
