RÈGLE DE TROIS COMPOSÉE
(5oo et X forment an extrême et un moyen , parce que la relation est directe. )
Multiplions actuellement, terme à terme, les deux proportions (i) et (2) ; il en résultera (n^ 213)
76 X 5oo : ao X 1265 :: 18 X a? : a: X ar' ,
ou y supprimant le facteur x commun aux deux derniers termes ,
Donc, x^ =
76 X 5oo : ao X 1265 :: i8 : af 2oXi265xi8 .187
ou 1 2 jours environ.
Passons à un exemple encore plus compliqué.
Septième EXEMPLE.— 5ooAom77se«, trai^mllant 12 heures par four, ont employé S'] jours à creuser un canal de 1800 mètres de long sur 7 mètres de large et 3 de profondeur; on demande en combien de jours 860 hommes travaillant 10 heures par Jour, creuseront un autre canal de 2900 mètres de longueur, 12 mètres de, large et 5 de profondeur, dans un terrain 3 fois plus difficile que le premier?
Voici le tableau des calculs , dont nous donnerons ensuite Texplication :
5oo*<'"'
,2**ar
i8oo'"*'«"»:
^mAarg*^
l^yn.larg
ar'ou X. . , . (6).
860 X 10 X 1800 X 7 X 3 X I : 5oo X 12 X 2900 X la X 5 X 3 :: 57 : X ;
,, , V 5ooX 12X2900X12X5x3x57 ^, , 5i
860 X 10 X 1800 X 7 X 3 X I ^^ 3oi
jinalyse, — On distingue dans l'énonce ci-dessus deux parties principales : la première comprend les nombres
5oo^<"", 12*, 7 ,1800'"-'^"^ yw-'^^f, s»"'^, I^
ei a seconde^ 860, 10, X, ^.qoo , 12, 5, 3 .
D£ LA hiCLE DE TAOIS COKPQSÉE. agS
(Puisque le second terrain est trois fois plus difficile à fouiller que le premier, on peut représenter la dureté du premier terrain par I , et celle du second par 3 , comme on le voit ici.)
On a désigné d'ailleurs par X le nombre de jours cherché.
Cela posé , admettons d'abord que Touvrage à faire par les deux troupes d'ouvriers soit le même, et de plus que l'une et l'autre troupe travaillent le même nombre d'heures par jour.
Comme , dans ce cas , plus il y a d'ouvriers pour faire cet ouvrage, moins il faut de jours, on a une relation indirecte entre lesdeux nombres d'ouvriers et les deux nombres de jours. Ainsi , désignant par x le nombre de jours nécessaire aux 860 ouvriers pour creuser le premier fossé , le temps de leur travail par jour étant d'ailleurs de 12 heures comme pour lesSoo ou« vrîers , on a la proportion (i) dans laquelle 860 et son correspondant X forment les deux extrêmes.
Actuellement, si ces 860 hommes, au lieu de travailler 12 heures, ne travaillent que 10 heures, ils devront nécessairement employer j9/uf de jours à faire le même ouvrage. Ainsi , ayant égard aux deux nombres d'heures de travail par jour, comme moins il y a d'heures de travail , plus il faut de jours , ona encore une relation indirecte entre les deux nombres 12^, lo'^, et les deux nombres de jours x^ x' \ ce qui donne la proportion (2) dont 10 et son correspondant x' forment les extrêmes.
On pourrait , en multipliant les deux proportions (i) et (2) , l'une par l'autre, et observant que le terme x disparaîtrait comme facteur des deux derniers termes de la nouvelle proportion , on pourrait, dis-je, obtenir la valeur de x\ qui exprimerait le nombre de jours nécessaires aux 860 ouvriers travaillant I o heures par jour, pour creuser le premier fossé ; mais cela est inutile, et il suffit de regarder x' comme déterminé.
Faisons maintenant varier la longueur du fossé en con> servant la même largeur, la même profondeur, et la même dureté de terrain.
Or, ,si le fossé a plus de longueur, .toutes choses égales ïVailleurs , il faut nécessairement/?/!/^ de jours pour le creuser ;
2g6 HEHARQUES GÉNÉRALES
ainsi, il y a relation directe entre les deux nombres 1800,290a, et aff x" {x" ou x seconde désignant le nombre de jours correspondant k la longueur 2900), d'où résulte la proportion (3) dont 2900 et x" forment un moyen et un extrême.
Répétant les mêmes raisonnements p^ rapport à la largeur et à la profondeur, on obtient les deux proportions (4) et (5), dans lesquelles j^ et j:** (ou â? tierce et x quarte) expriment les nombres de jours €\A correspondent aux variations de la largeur et de la profondeur.
Enfin , si l'on a égard à la différence des duretés des deun terrains, il y aura évidemment relation directe ; et l'on obtiendra la proportion (6) dont le dernier terme x^ ou X exprime le nombre de jours cherché;
Multipliant alors, terme à terme, les six proportions établies successivement, et observant que tous les termes x^ x\ x\ x", x^^f disparaissent comme facteurs communs dans le second antécédent et le second conséquent de la nouvelle proportion, on obtient la proportion (7) , d'où Ton déduit la valeur de X,
qui, toute simplification faite, se réduit à 549^-5 — .
Ainsi , le nombre de jours demandé est de 549 jours environ.
N, B> ~^ Rappelons-nous toutefois que, lorsqu'on est parvenu à l'expression x = ^^ >< '^ X ^9oo X '^ X 5 X 3x57 ^^
■^ 860 X lox 1800 X 7X3 X I *
faut, avant d'effectuer toutes les multiplications indiquées, avoir soin de supprimer tous les facteurs communs qui sont en évidence au numérateur et au dénominateur.
Ici, par exemple, après avoir opéré toutes ces suppressions,
on obtient X = ,0 , ou , en effectuant
4cJ X 7
alors les calculs, X = '^^^^^==549 ^'
3oi ^^ 3oi*
Cet exemple , qui est un des plus compliqués qu'on puisse se proposer, suffit pour mettre les commençants au fait de la marche qu'il faut suivre dans tout autre.
